Akıllarımız sınırlı, fakat bu sınırlılığın şartları içerisinde sonsuz olasılıklarla çevrilmişiz. İşte hayatın gayesi bu sonsuzluktan kavrayabildiğimiz kadar çok şey kavramak.
ALFRED NORTH WHITEHEAD
Bu konuyla ilgili yeni yaklaşımlara geçmeden önce 1’den, 9’a kadar sayıların kübünü hatırlayalım ve aşağıdaki tabloyu oluşturalım.
|
Sayı |
Kübü |
Kübün son rakamı |
Küpkökün son rakamı |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
8 |
8 |
2 |
|
3 |
27 |
7 |
3 |
|
4 |
64 |
4 |
4 |
|
5 |
125 |
5 |
5 |
|
6 |
216 |
6 |
6 |
|
7 |
343 |
3 |
7 |
|
8 |
512 |
2 |
8 |
|
9 |
729 |
9 |
9 |
Tablo 1
1’den, 9’a kadar sayıların küplerinin son rakamlarına dikkat edilirse hepsinin birbirinden farklı oldukları görülür. Tablo1’in ezberlenmesi işimizi çok kolaylaştıracaktır. Tablodaki kübün son rakamı ve küpkökün son rakamını ezberlemek gayet kolay. 1, 4, 5, 6 ve 9’da değişmiyor. Diğerlerinde sayının 10’dan farkına eşit oluyor.
Kübün son rakamı 2 ise, küpkökün son rakamı 10 – 2 = 8’dir.
Kübün son rakamı 3 ise, küpkökün son rakamı 10 – 3 = 7’dir.
Kübün son rakamı 7 ise, küpkökün son rakamı 10 – 7 = 3’tür.
Kübün son rakamı 8 ise, küpkökün son rakamı 10 – 8 = 2’dir.
Yaklaşım 1: Tam küplerin,küp köklerini bulmak için kullanılır. ( Küp kök bir tamsayıdır. )
Küpkökün tam kısmının basamak sayısı, küpkök içindeki sayının birler basamağından başlanılarak oluşturulan üçerli grupların sayısı kadardır. Küpkökün ilk rakamı, kübü sol baştaki gruba en yakın ve küçük olan sayıya eşittir. Küpkökün son rakamı, sağ baştaki grubun birler basamağındaki rakamdan Tablo1 yardımıyla bulunur. Küpkökü iki basamaktan büyük olan tam küpler daha ilerki örneklerde açıklanacaktır.
Kullanacağımız örneklerde i, küpkökün ilk rakamını ( onlar basamağındaki rakamı ), s ise küpkökün son rakamını ( birler basamağındaki rakam ) sembolize etsin.
Örnek 1:
= ?
Küp kök içindeki sayıyı gruplandıralım.
17 536 ( İki gruptan oluştuğu için, küpkök iki basamaklıdır. )
Kübü sol baştaki gruptan (17) küçük yada eşit olan sayı, 2’dir. 23 = 8, 33 = 27
O halde küp kökün ilk rakamı 2’dir. ( i = 2 )
Küpkök içindeki sayının sağ baştaki grubunun birler basamağındaki rakam 6’dır. Küpkökünün son rakamı 6 olan sayı ise 6’dır. ( s = 6)
i = 2, s = 6
O halde 
= 26’dır.
Örnek 2:
= ?
Küp kök içindeki sayıyı gruplandıralım.
39 304 ( İki gruptan oluştuğu için, küpkök iki basamaklıdır. )
Kübü sol baştaki gruptan (39) küçük yada eşit olan sayı, 3’tür. 33 = 27, 43 = 64
O halde küp kökün ilk rakamı 3’tür. ( i = 3 )
Küpkök içindeki sayının sağ baştaki grubunun birler basamağındaki rakam 4’tür. Küpkökünün son rakamı 4 olan sayı ise 4’tür. ( s = 4)
i = 3, s = 4
O halde = 34’tür.
Örnek 3:
= ?
185 193 (iki basamaklı )
i = 5 s = 7 ( Son rakamı 3 olan sayının küpkökünün son rakamı 7’dir.)
(53 = 125,
en yakın küp)
O halde = 57’dir.
Örnek 4:
= ?
571 787 (iki basamaklı )
 |
i = 8 s = 3 ( Son rakamı 7 olan sayının küpkökünün son rakamı 3’tür.)
(83 = 512,
en yakın küp)
O halde 
= 83’tür.
Örnek 5:
= ?
941 192 (iki basamaklı )
|
i = 9 s = 8 ( Son rakamı 2 olan sayının küpkökünün son rakamı 8’dir.)
(93 = 729,
en yakın küp)
O halde 
= 98’dir.
Örnek 6:
= ?
41 421 736 ( üç basamaklı )
i= 3 s = 6 ( Son rakamı 6 olan sayının küpkökünün son rakamı 6’dır.)
(33= 27)
O halde = 3 . 6 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )
Örnek 7:
= ?
5 268 024 ( üç basamaklı )
i= 1 s = 4 ( Son rakamı 4 olan sayının küpkökünün son rakamı 4’tür.)
(13= 1)
O halde 
= 1 . 4 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )
Örnek 8:
= ?
17 173 512 ( üç basamaklı )
i= 2 s = 8 ( Son rakamı 2 olan sayının küpkökünün son rakamı 8’dir.)
(23= 8)
O halde = 2 . 8 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )
Örnek 9:
= ?
75 686 967 ( üç basamaklı )
i= 4 s = 3 ( Son rakamı 7 olan sayının küpkökünün son rakamı 3’tür.)
(43= 64)
O halde = 4 . 3 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )
Örnek 10:
= ?
78 677 849 125 (dört basamaklı )
i=4 s= 5 ( Son rakamı 5 olan sayının küpkökünün son rakamı 5’tir.)
(43=64)
O halde = 4 . . 5 ( onlar ve yüzler basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )
Örnek 11:
= ?
277 295 358 761 (dört basamaklı )
i=6 s= 1 ( Son rakamı 1 olan sayının küpkökünün son rakamı 1’dir.)
(63=216)
O halde = 6 . . 1 ( onlar ve yüzler basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )
Şimdi üç basamaklı bir tam küpkökü nasıl bulacağımızı anlamaya çalışalım. Küpkök sonucunu abc şeklinde kabul edelim. abc sayısının kübünü yazıp kök içindeki sayıyla ilgisini kurarsak sonuca ulaşırız.
Öncelikle abc sayısını çözümleyip kübünü alalım.
abc = 100a + 10b + c
abc3 = ( 100a + 10b +c) ( 100a + 10b +c) ( 100a + 10b +c)
= 1000000(a3) + 100000(3a2b) + 10000(3a2c + 3ab2) + 1000(b3 + 6abc) + 100(3b2c + 3ac2) + 10(3bc2) +c3
10’un kuvvetlerini silersek;
1. Birler basamağı c3
2. Onlar basamağı 3bc2
3. Yüzler basamağı 3b2c + 3ac2
4. Binler basamağı b3 + 6abc
5. Onbinler basamağı 3a2c + 3ab2
6. Yüzbinler basamağı 3a2b
7. Milyonlar basamağı a3
ile belirlenir. Küpkökü bulmak için izleyeceğimiz basamaklar aşağıda verilmiştir.
1. Küpkök içerisindeki sayıdan c3 çıkarılır. ( Küpkökün birler basamağının nasıl bulunduğunu bir önceki konudan biliyoruz.)
2. 1.işlem sonunda elde ettiğimiz sayının birler basamağından bir önceki basamağı (onlar basamağı ), 3bc2 ‘nin birler basamağına eşitlenip b bulunur.
3. Küpkök sonucu dört basamaklı olduğunda 1.işlemin sonucundan 3bc2 çıkarılıp, kalan kısmın bir önceki basamağı 3b2c + 3ac2 işleminin sonucunun birler basamağına eşitlenip, a bulunur.Küpkökün sol baştan ilk basamağını bulmayı zaten biliyoruz.
Örnek 1:
= ?
14 348 907 ( 3 basamaklı )
i=2 s =3 ( Son rakamı 7 olan sayının küpkökünün son rakamı 3’tür.)
(23=8)
= 2 . 3 = abc a =2, c = 3
Şimdi eksik basamağı bulalım.
14348907’den, c3’ü (33 = 27) çıkaralım.
14348907
– 27
14348880
Sonucun onlar basamağındaki rakamı, 3bc2’ye eşitleyip, b’yi bulalım.
3bc2 = 8 ( Burada dikkat etmemiz gereken, 3bc2 işleminin sonucunun birler basamağını 8 yapan en küçük b sayısını bulmaktır. )
3b x 32 = 8
27 x b = 8 ( 7 ile 4’ü çarptığımızda birler basamağı 8 olan sayıyı elde ederiz.)
Dolayısıyla b = 4’tür.
Küpkök abc’ye eşitti.
a = 2, b = 4, c = 3
olduğuna göre ;
= 243 olur.
Örnek 2:
= ?
74 618 461 ( 3 basamaklı )
i=4 s =1 ( Son rakamı 1 olan sayının küpkökünün son rakamı 1’dir.)
(43=64)
= 4 . 1 = abc a =4, c = 1
Şimdi eksik basamağı bulalım.
74618461’den, c3’ü (13 = 1) çıkaralım.
74618461
– 1
74618460
Sonucun onlar basamağındaki rakamı, 3bc2’ye eşitleyip, b’yi bulalım.
3bc2 = 6 ( Burada dikkat etmemiz gereken, 3bc2 işleminin sonucunun birler basamağını 8 yapan en küçük b sayısını bulmaktır. )
3b x 12 = 6
3 x b = 6 ( 3 ile 2’yi çarptığımızda birler basamağı 6 olan sayıyı elde ederiz.)
Dolayısıyla b = 2’dir.
Küpkök abc’ye eşitti.
a = 4, b = 2, c = 1
olduğuna göre ;
= 421 olur.
Örnek 3:
= ?
163 667 323 ( 3 basamaklı )
i =5 s =7 ( Son rakamı 3 olan sayının küpkökünün son rakamı 7’dir.)
(53=125)
= 5 . 7 = abc a =5, c = 7
Şimdi eksik basamağı bulalım.
163667323’ten, c3’ü (73 = 343) çıkaralım.
163667323
– 343
163666980
3bc2 = 8
3b x 72 = 8
147 x b = 8 ( 7 ile çarpıldığında birler basamağı 8 olan sayı, b, 4’tür. )
Dolayısıyla b = 4’dir.
Karekök abc’ye eşitti.
a = 5, b = 4, c = 7
olduğuna göre ;
= 547 olur.
Örnek 4:
= ?
549 353 259 ( 3 basamaklı )
i =8 s =9 ( Son rakamı 9 olan sayının küpkökünün son rakamı 9’dur.)
(83=512)
= 8 . 9 = abc a =8, c = 9
549353259’dan, c3’ü (93 = 729) çıkaralım.
549353259
– 729
549352530
3bc2 = 3
3b x 92 = 3
243 x b = 3 ( 243 ile çarpıldığında birler basamağı 3 olan sayı, b, 1’dir. )
Dolayısıyla b = 1’dir.
Küpkök abc’ye eşitti.
a = 8, b = 1, c = 9
olduğuna göre ;
= 819’dur.
Örnek 5:
= ?
80 341 955 875 ( 3 basamaklı )
i =4 s =5 ( Son rakamı 5 olan sayının küpkökünün son rakamı 5’tir.)
(43=64)
= 4 . . 5 = 4abc c = 5
80341955875’ten, c3’ü (53 = 125) çıkaralım.
80341955875
– 125
80341955750
3bc2 = 5
3b x 52 = 5
75 x b = 5 ( 75 ile çarpıldığında birler basamağı 3 olan sayı, 1, 3, 5, 7, 9 olabilir. )
Bu durumda kök içindeki sayıyı üç kere 5’e bölüp küpkökünü bulduktan sonra 5 ile çarpmak bu sorunun giderilmesini sağlayacaktır. ( 5 seçmemizin nedeni kök içerisindeki sayının birler basamağının 5 olmasıdır. Küpün birler basmağındaki rakam 5 iken, küpkökün birler basamağındaki rakam yine 5’ti. )
80341955875 / 5 = 16068391175
16068391175 / 5 = 3213678235
3213678235 / 5 = 642735647
642 735 647
i=8 s = 3
(83=512)
8 . 3 = abc, a = 8, c = 3
c3 = 33 = 27
642735647
– 27
642735620
3bc2 = 2
3b x 32
27 x b = 2
b = 6 olur.
Bu durumda ikinci küpkökün sonucu 863 olur.
Bizim cevabımız bulduğumuz bu sayının 5 katıydı. (üç kere 5’e böldüğümüz için )
863 x 5 = 4315
O halde = 4315’tir.
Örnek 6:
= ?
18 046 578 367 ( 4 basamaklı )
i = 2 s = 3
(23 =8)
2 . . 3 = 2abc à c = 3
c3 = 33 = 27
18046578367
– 27
18046578340
3b x 32 = 4
27b = 4 à b = 2
Onlar basamağından itibaren sayıyı 3bc2 den çıkarıp, yüzler basamağındaki sayı 3b2c + 3ac2 nin birler basamağına eşitlenip, a bulunur.
3bc2 = 3 x 2 x 32
= 54
18046578340
– 54
18046577800
3b2c + 3ac2 = 3 x 22 x 3 + 3 x a x 32
36 + 27a = 8 ( a yerine 6 yazılırsa işlemin sonucunun birler basamağı 8 olur. )
Küpkök 2abc ye eşitti.
a= 6, b= 2, c = 3
O halde = 2623 olur.
Örnek 7:
= ?
67 468 849 911 ( 4 basamaklı )
i = 4 s = 1
(43 =64)
4 . . 1 = 4abc à c = 1
c3 = 13 = 1
67468849911
– 1
67468849910
3b x 12 = 1
3b = 1 à b = 7
Onlar basamağından itibaren sayıyı 3bc2 den çıkarıp, yüzler basamağındaki sayı 3b2c + 3ac2 nin birler basamağına eşitlenip, a bulunur.
3bc2 = 3 x 7 x 12
= 21
67468849910
– 21
67468849700
3b2c + 3ac2 = 3 x 72 x 1 + 3 x a x 12
147 + 3a = 7 ( a yerine 0 yazılırsa işlemin sonucunun birler basamağı 7 olur. )
Küpkök 4abc ye eşitti.
a= 0, b= 7, c = 1
O halde = 4071 olur.
Buraya kadarki örneklere dikkat ederseniz, hepsinin birler basamağındaki sayılar tek sayıdır. Çift sayı olursa ne yapacağız ? Bu seferde sayıyı bölümün birler basamağındaki rakam tek sayı çıkıncaya kadar 8’e böleceğiz ve küpkökünü bulup, kaç kere 8’e bölmüşsek, o kadar 2 ile çarpacağız.
Örnek 8:
= ?
|
9800344 ¸ 8 = 1225043
1 225 043
 |
i = 1 s = 7
(13 = 1)
1 . 7 = abc à a = 1, c = 7
c3 = 73 = 343
1225043
– 343
1224700
3 x b x 72 = 0
147b = 0
b = 0
Küpkök abc ye eşitti.
a = 1, b = 0, c = 7
1225043 = 107
Sonucu 2 ile çarparsak 107 x 2 = 214
O halde = 214 olur.
Yaklaşım 2 :
Bu yaklaşımda küpkökü alınacak sayının tam küp olup olmadığı hakkında bir fikrimizin olmasına gerek yoktur. O yüzden genel bir yaklaşım olarak alabiliriz. Örneklerle konuyu anlatmaya çalışacağım. Başlangıç olarak küpkökün tam kısmının üç basamaklı olduğu sayıları inceleyelim.
Örnek 1:
= ?
Verilen sayı sağ baştan başlanılarak üçerli gruplara ayrılır ve kübü sol baştaki gruba eşit yada en yakın küçük sayı çizginin üstüne yazılır. Bu sayının kübü ilk gruptan çıkarılarak bir sonraki grubun önüne yazılır. Bölenimiz ise çizginin üstündeki sayının karesinin üç katına eşittir. ( Bölen karekök bulma konusunda anlattığımız gibi sol tarafa yazılır. )
a
6
3 x 62 239 483 061 (63 = 216 )
239 – 216 = 23
a
6
108 239 23483 061
Elde ettiğimiz sayıyı bölene bölünüp, bölüm çizginin yukarasına, kalan, bir sonraki sayının önüne yazılır.
234 108
216 2
–
18
a b
6 2
108 239 41883 061
Bir sonraki sayıdan 3ab2 çıkarılarak, bölene bölünüp, bölüm çizginin üstüne, kalan, bir sonraki sayının önüne yazılır.
3 x a x b2 = 3 x 6 x 22 = 72
188 – 72 = 116
116 108
108 1
–
08
a b c
6 2 1
108 239 4883 061
Bir sonraki sayıdan, b3 + 6abc çıkarılıp işleme yukarıdaki gibi devam edilir.
b3 + 6abc = 23 + 6 x 6 x 2 x 1= 80
83 – 80 = 3
3 108
0 0
|
3
a b c
6 2 1 0
108 239 483 3061
Bir sonraki sayıdan 3ac2 + 3b2c çıkarılarak işleme devam edilir.
3ac2 + 3b2c = 3 x 6 x 12 + 3 x 22 x 1 = 30
30 – 30 = 0
0 108
0 0
|
0
a b c
6 2 1 0 0
108 239 483 0061
Bir sonraki sayıdan 3bc2 çıkarılarak işleme devam edilir.
3bc2 = 3 x 2 x 12 = 6
06 – 6 = 0
0 108
0 0
|
0
a b c
6 2 1 0 0 0
108 239 483 0601
Bir sonraki sayıdan c3 çıkarılarak işleme devam edilir.
c3 = 13 = 1
01 – 1 = 0
0 108
0 0
|
0
Kalan 0 olduğu için küpkök içindeki sayı, tam küptür. Küpkök içindeki sayı üç gruptan oluştuğu için, çizginin üstindeki sayılardan ilk üçü, istenilen sonuçtur.
Dolayısıyla = 621’dir.
İşlem sıralamasına dikkat edersek , başlangıçta sol baştaki gruba eşit yada en yakın olan küçük sayının kübünü çıkarıp, bölene bölüyoruz. Daha sonra sırasıyla,
3ab2
b3 + 6abc
3ac2 + 3b2c
3bc2
c3
çıkarmalarını yapıyoruz.
Örnek 2:
= ? ( virgülden sonra üç basamağa kadar )
312,0000….. ( virgülden sonra istediğimiz kadar 0 yazabiliriz. )
a
6
3 x 62 312, 00000 (63 = 216 )
312 – 216 = 96 ( bir sonraki grubun önüne yazılacak. )
a
6
3 x 62 312, 9600000
Elde ettiğimiz sayı bölene bölünüp, bölüm çizginin yukarasına, kalan, bir sonraki sayının önüne yazılır.
960 108
864 8
–
96
a b
6, 8
108 312, 0960000
960 – 3ab2 = 960 – 3 x 6 x 82
= 960 – 1152
= -192
Sonuç negatif çıktığı için bir önceki bölümün değerini bir azaltırız. ( 8 iken 7 olacak. )
960 108
756 7
–
204
a b
6, 7
108 312, 02040000
2040 – 3ab2 = 2040 – 3 x 6 x 72
= 2040 – 882
= 1158
|
1158 108
864 8
–
294
a b c
6, 7 8
108 312, 00294 000
2940 – (b3 + 6abc) = 2940 – (73 + 6 x 6 x 7 x 8)
= 2940 – 2359
= 581
581 108
216 2
–
365
a b c
6, 7 8 2
108 312, 00036500
Küpkökün sonucunu virgülden sonra üç basamağa kadar bulduk.
O halde = 6,782’dir.
Örnek 3:
= ?
1 354, 067 ( Bu durumda sol baştaki iki grubu birleştirebiliriz. Size tavsiyem 20’ye kadar sayıların karesini ve küpünü ezberleyin. Bu bize karekök ve köpkök bulmada çok yardımcı olur. )
a
11,
3×112 1354, 067 (113 = 1331 )
1354 – 1331 = 23
a
11,
363 1354, 23067
|
||||
 |
||||
230 363
0
–
230
a
11, 0
363 1354, 23067
|
2306 363
2178 6
–
128
a b c
11, 0 6
363 1354, 061287
O halde = 11, 06’dır.
Örnek 4:
= ?
6 225 535 (Sol baştaki iki grubu birleştirelim)
a
18
3×182 6225 535 (183 = 5832 )
6225 – 5832 = 393
a
18
972 6225 393535
|
3935 972
3
–
1019
a b
18 3,
972 6225 5101935
10193 – 3ab2 = 10193 – 3 x 18 x 32
= 10193 – 486
= 9707
|
9707 972
8748 9
–
959
a b c
18 3, 9
972 6225 539595
9595 – (b3 + 6abc) = 9595 – (33 + 6 x 18 x 3 x 9)
= 9595 – 2943
= 6652
|
6652 972
5832 6
–
820
a b c
|
18 3, 9 6
972 6225 5358200
O halde = 183, 96’dır.
Sol baştaki grup küçük olduğunda işlemi yapmak zorlaşır. O yüzden sol baştaki grubu 23, 33, 43, 53 vb sayılarla çarpıp en sonda hangi sayıyıla çarptıysak o sayının tabanındaki sayıya ( 2, 3, 4, 5 ….) böleriz.
Örnek 5:
= ?
3, küçük olduğu için 53 ile çarpalım. ( Burada 53 keyfi kullanılmıştır, isterseniz başka bir sayı kullanabilirsiniz. )
3 x 53 = 3 x 125 = 375
Soru bu durumda 375 = ? şekline geldi.
’i bulup, sonucu 5’e böleceğiz.
a
7
3×72 375, 0000 (73 = 343 )
375 – 343 = 32
a
7
147 375, 320000
|
320 147
294 2
–
26
a b
7, 2
147 375, 026000
260 – 3ab2 = 260 – 3 x 7 x 22
= 260 – 84
= 176
|
176 147
147 1
–
29
a b c
7, 2 1
147 375, 002900
290 – (b3 + 6abc) = 290 – (23 + 6 x 7 x 2 x 1)
= 290 – 92
= 198
|
198 147
147 1
–
51
a b c
7, 2 1 1
147 375, 000510
510 – (3ac2 + 3b2c ) = 510 – (3 x 7 x 12 + 3 x 22 x 1 )
= 510 – 33
= 473
|
473 147
294 2
–
179
a b c
7, 2 1 1 2
147 375, 00001790
= 7,2112’dir.
’ü bulmak için elde ettiğimiz sayıyı 5’e bölelim.
7,2112 ¸ 5 = 1,44224
O halde = 1,44224’tür.
Örnek 6:
= ?
Kök içindeki sayıyı 53 ile çarpalım.
10 x 53 = 1250
’i bulup, sonucu 5’e böleceğiz.
a
10
3×102 1250, 0000 (103 = 1000 )
1250 – 1000 = 250
a
10
300 1250, 2500000
|
2500 300
2100 7
–
400
a b
10, 7
300 1250, 04000000
4000 – 3ab2 = 4000 – 3 x 10 x 72
= 4000 – 1470
= 2530
|
2530 300
2100 7
–
430
a b c
10, 7 7
300 1250, 00430000
4300 – (b3 + 6abc) = 4300 – (73 + 6 x 10 x 7 x 7)
= 4300 – 3283
= 1017
|
1017 300
600 2
–
417
a b c
10, 7 7 2
300 1250, 00041700
4170 – (3ac2 + 3b2c ) = 4170 – (3 x 10 x 72 + 3 x 72 x 7 )
= 4170 – 2499
= 1671
|
1671 300
300 1
–
1371
a b c
10, 7 7 2 1
300 1250, 000013710
= 10,7721’dir.
’u bulmak ,için 5’e bölelim.
10,7721¸ 5 = 2,15442
O halde = 2,15442’dir.
Örnek 7:
= ?
2 744 ( iki basamaklı )
a
1
3 x12 2 744 (13 = 1 )
2 – 1 = 1
a
1
3 2 1744
|
17 3
12 4
–
5
a b
1 4
3 2 7544
54 – 3ab2 = 54 – 3 x 1 x 42
= 54 – 48
= 6
|
6 3
0
–
6
a b c
1 4, 0
3 2 7464
64– (b3 + 6abc) = 64 – (43 + 6 x 1 x 4 x 0)
= 64 – 64
= 0
O halde = 14’tür.
Örnek 8:
= ?
17 576 ( iki basamaklı )
a
2
3 x22 17 576 (23 = 8 )
17 – 8 = 9
a
2
12 17 9576
|
95 12
72 6
–
23
a b
2 6
12 17 52376
237 – 3ab2 = 237 – 3 x 2 x 62
= 237 – 216
= 21
|
21 12
0
–
21
a b c
2 6 0
12 17 57216
216– (b3 + 6abc) = 216 – (63 + 6 x 2 x 6 x 0)
= 216 – 216
= 0
O halde = 26’dır.
Örnek 9:
= ?
34 012 224 ( üç basamaklı )
a
3
3 x32 34 012 224 (33 = 27 )
34 – 27 = 7
a
3
27 34 7012 224
|
70 27
54 2
–
16
a b
3 2
27 34 01612 224
161 – 3ab2 = 161 – 3 x 3 x 22
= 161 – 36
= 125
|
125 27
108 4
–
17
a b c
3 2 4,
27 34 01172 224
172– (b3 + 6abc) = 172 – (23 + 6 x 3 x 2 x 4)
= 172 – 1525
= 20
|
20 27
0
–
20
a b c
3 2 4, 0
27 34 012202 24
202 – (3ac2 + 3b2c ) = 202 – (3 x 3 x 42 + 3 x 22 x 4 )
= 202 – 192
= 10
|
10 27
0
–
10
a b c
3 2 4, 0 0
27 34 012 21024
102 – 3bc2 = 102 – 3 x 2 x 42
= 102 – 96
= 6
|
6 27
0
–
6
a b c
3 2 4, 0 0 0
27 34 012 2264
64 – c3 = 64 – 43
= 64 – 64
= 0
|
0 27
0
–
0
a b c
3 2 4, 0 0 0 0
27 34 012 2264
O halde = 324’tür.
Örnek 10:
= ?
102 ( bir basamaklı )
a
4
3 x42 102, 0000 (43 = 64 )
102 – 64 = 38
a
4,
48 102, 380000
|
380 48
288 6
–
92
a b
4, 6
48 102, 092000
920 – 3ab2 = 920 – 3 x 4 x 62
= 920 – 432
= 488
|
488 48
336 7
–
152
a b c
4, 6 7
48 102, 0015200
1520– (b3 + 6abc) = 1520 – (63 + 6 x 4 x 6 x 7)
= 1520 – 1224
= 296
|
296 48
2
–
200
a b c
4, 6 7 2
48 102, 0002000
2000 – (3ac2 + 3b2c ) = 2000 – (3 x 4 x 72 + 3 x 62 x 7 )
= 2000 – 1344
= 656
|
656 48
144 3
–
512
Buradaki işlemlerde, bölümün küçük alınmasının nedeni bir sonraki işlemlerin sonucunun pozitif çıkmasıdır.
a b c
4, 6 7 2 3
48 102, 0002000
O halde = 4,6723’tür.
Örnek 11:
= ?
39 304 ( iki basamaklı )
a
3
3 x32 39 304 (33 = 27 )
39 – 27 = 12
a
3
27 39 12304
|
123 27
108 4
–
15
a b
3 4
27 39 31504
150 – 3ab2 = 150 – 3 x 3 x 42
= 150 – 144
= 6
|
6 27
0
–
6
a b c
3 4 0
27 39 3064
64– (b3 + 6abc) = 64 – (43 + 6 x 3 x 4 x 0)
= 64 – 64
= 0
|
0 48
0
–
0
a b c
3 4 0 0
27 39 304
O halde = 34’tür.
Örnek 12:
= ?
84 027 672 ( üç basamaklı )
a
4
3 x42 84 027 672 (43 = 64 )
84 – 64 = 20
a
4
48 84 20027 672
|
200 48
144 3
–
56
a b
4 3
48 84 05627 672
562 – 3ab2 = 562 – 3 x 4 x 32
= 562 – 108
= 454
|
454 48
384 8
–
70
a b c
4 3 8,
48 84 02707 672
707– (b3 + 6abc) = 707 – (33 + 6 x 4 x 3 x 8)
= 707 – 603
= 104
|
104 48
0
–
104
a b c
4 3 8, 0
48 84 027 104672
1046 – (3ac2 + 3b2c ) = 1046 – (3 x 4 x 82 + 3 x 32 x 8 )
= 1046 – 984
= 62
|
62 48
0
–
62
a b c
4 3 8, 0 0
48 84 027 66272
627 – 3bc2 = 627 – 3 x 3 x 82
= 627 – 576
= 51
|
51 48
0
–
51
a b c
4 3 8, 0 0 0
48 84 027 67512
512 – c3 = 512 – 83
= 512 – 512
= 0
|
0 48
0
–
0
a b c
4 3 8, 0 0 0 0
48 84 027 672
O halde = 438’dir.
Örnek 13:
= ?
86 350 888 ( üç basamaklı )
a
4
3 x42 86 350 888 (43 = 64 )
86 – 64 = 22
a
4
48 86 22350 888
|
223 48
192 4
–
31
a b
4 4
48 86 33150 888
315 – 3ab2 = 315 – 3 x 4 x 42
= 315 – 192
= 123
|
123 48
96 2
–
27
a b c
4 4 2,
48 86 35270 888
270– (b3 + 6abc) = 270 – (43 + 6 x 4 x 4 x 2)
= 270 – 256
= 14
|
14 48
0
–
14
a b c
4 4 2, 0
48 86 350 14888
148 – (3ac2 + 3b2c ) = 148 – (3 x 4 x 22 + 3 x 42 x 2 )
= 148 – 144
= 4
|
4 48
0
–
4
a b c
4 4 2, 0 0
48 86 350 8488
48 – 3bc2 = 48 – 3 x 4 x 22
= 48 – 48
= 0
|
0 48
0
–
0
a b c
4 4 2, 0 0 0
48 86 350 8808
08– c3 = 08 – 23
= 08 – 8
= 0
|
0 48
0
–
0
a b c
4 4 2, 0 0 0 0
48 86 350 888
O halde = 442’dir.
Küpkökün tam kısmının dört basamaklı olduğu durumudaki bağıntımızı sistematikleştirelim.
(a+b+c+d)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + 3ac2 + 6abc + b3 + 3a2d + 6abd + 3ac2 + 3b2c + 6acd + 3bc2 + 3b2d + 6bcd + 3ad2 + c3 + 3bd2 + 3c2d + 3cd2 +d3
Burada basamaklar soldan sağa doğru;
1. rakam à a3
2. rakam à 3a2b
3.rakam à 3ab2 + 3ac2
4. rakam à 6abc + b3 + 3a2d
5. rakam à 6abd + 3ac2 + 3b2c
6.rakam à 6acd + 3bc2 + 3b2d
7. rakam à 6bcd + 3ad2 + c3
8. rakam à 3bd2 + 3c2d
9. rakam à 3cd2
10. rakam à d3
işlemleriyle ifade edilir.
Başlangıç için daha önceden kullandığımız mantığı kullanacağız. Çıkarma sıralaması ise ;
3ab2
6abc + b3
6abd + 3ac2 + 3b2c
6acd + 3bc2 + 3b2d
6bcd + 3ad2 + c3
3bd2 + 3c2d
3cd2
d3
şeklindedir.
Üç basamaklı küpkök için d= 0 alınırsa bir önceki işlemlerde elde edilen çıkarmalar bulunur.
Örnek 1:
= ?
11 360 276 992 ( dört basamaklı )
a
2
3 x22 11 360 276 992 (23 = 8 )
11 – 8 = 3
a
2
12 11 3360 276 992
|
33 12
24 2
–
9
a b
2 2
12 11 3960 276 992
96 – 3ab2 = 96 – 3 x 2 x 22
= 96 – 24
= 72
 |
72 12
48 4
–
24
a b c
2 2 4
12 11 36240 276 992
240 – (6abc + b3 ) = 240 – (6 x 2 x 2 x 4 + 23 )
= 240 – 104
= 136
|
136 12
96 8
–
40
a b c d
2 2 4 8
12 11 360 40276 992
402 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 402 – ( 6 x 2 x 2 x 8 + 3 x 2 x 42 + 3 x 22 x 4)
= 66
|
66 12
0
–
66
a b c d
2 2 4 8 0
12 11 360 26676 992
407 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 407 – (6 x 2 x 4 x 8 + 3 x 2 x 42 + 3 x 22 x 8)
= 91
|
91 12
0
–
91
a b c d
2 2 4 8 0 0
12 11 360 27916 992
916 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 916 – ( 6 x 2 x 4 x 8 + 3 x 2 x 82 + 43 )
= 84
|
84 12
0
–
84
a b c d
2 2 4 8 0 0 0
12 11 360 276 84992
849 – (3bd2 + 3c2d ) = 849 – (3 x 2 x 82 + 3 x 42 x 8 )
= 81
|
81 12
0
–
81
a b c d
2 2 4 8 0 0 0 0
12 11 360 276 98192
819 – 3cd2 = 819 – 3 x 4 x 82
= 51
|
51 12
0
–
51
a b c d
2 2 4 8 0 0 0 0 0
12 11 360 276 99512
512 – d3 = 512 – 83
= 0
O halde = 2248’dir.
Örnek 2:
= ?
11 329 982 936 ( dört basamaklı )
Sol baştaki iki grubu birleştirelim.
11329 982 936
a
22
3 x222 11329 982 936 (223 = 10648 )
11329 – 10648 = 681
a
22
1452 11329 681982 936
|
6819 1452
5808 4
–
1011
a b
22 4
1452 11329 9101182 936
10118 – 3ab2 = 10118 – 3 x 22 x 42
= 10118 – 1056
= 9062
|
9062 1452
8712 6
–
350
a b c
22 4 6
1452 11329 983502 936
3502 – (6abc + b3 ) = 3502 – (6 x 22 x 4 x 6 + 43 )
= 3502 – 3232
= 270
|
270 1452
0
–
270
a b c d
22 4 6 0
1452 11329 982 270936
2709 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 2709 – ( 6 x 22 x 4 x 0 + 3 x 22 x 62 + 3 x 42 x 6)
= 45
|
45 1452
0
–
45
a b c d
22 4 6 0 0
1452 11329 982 94536
453 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 453 – (6 x 22 x 6 x 0 + 3 x 4 x 62 + 3 x 42 x 0)
= 21
|
21 1452
0
–
21
a b c d
22 4 6 0 0
1452 11329 982 93216
216 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 216 – ( 6 x 4 x 6 x 0 + 3 x 22 x 02 + 63 )
= 0
|
0 12
0
–
0
O halde = 2246’dir.
Örnek 3:
= ?
12 390 535 144 ( dört basamaklı )
a
2
3 x22 12 390 535 144 (23 = 8 )
12 – 8 = 4
a
2
12 12 4390 535 144
|
43 12
36 3
–
7
a b
2 3
12 12 3790 535 144
79 – 3ab2 = 96 – 3 x 2 x 32
= 25
|
25 12
12 1
–
13
a b c
2 3 1
12 12 39130 535 144
130 – (6abc + b3 ) = 130 – (6 x 2 x 3 x 1 + 33 )
= 67
|
67 12
48 4
–
19
a b c d
2 3 1 4
12 12 390 19535 144
195 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 195 – ( 6 x 2 x 3 x 4 + 3 x 2 x 12 + 3 x 32 x 1)
= 18
|
18 12
0
–
18
a b c d
2 3 1 4 0
12 12 390 51835 144
183 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 183 – (6 x 2 x 1 x 4 + 3 x 3 x 12 + 3 x 32 x 4)
= 18
|
18 12
0
–
18
a b c d
2 3 1 4 0 0
12 12 390 53185 144
185 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 185 – ( 6 x 2 x 3 x 4 + 3 x 2 x 42 + 13 )
= 16
|
16 12
0
–
16
a b c d
2 3 1 4 0 0
12 12 390 535 16144
161 – (3bd2 + 3c2d ) = 161 – (3 x 3 x 42 + 3 x 12 x 4 )
= 5
|
5 12
0
–
5
a b c d
2 3 1 4 0 0 0
12 12 390 535 1544
54 – 3cd2 = 54 – 3 x 1 x 42
= 6
|
6 12
0
–
6
a b c d
2 3 1 4 0 0 0 0
12 12 390 535 1464
64 – d3 = 64 – 43
= 0
O halde = 2314’dir.
Sol baştaki iki grubu bir grup gibi düşünerek işlemi tekrar yapalım.
12390 535 144
a
23
3 x232 12390 535 144 (233 = 12167 )
12390 – 12167 = 223
a
23
1587 12390 223535 144
|
2235 1587
1587 1
–
648
a b
23 1
1587 12390 564835 144
6483 – 3ab2 = 6483 – 3 x 23 x 12
= 6414
6414 1587
6348 4
–
66
a b c
23 1 4
1587 12390 53665 144
665 – (6abc + b3 ) = 665 – (6 x 23 x 1 x 4 + 13 )
= 112
112 1587
0
–
112
a b c d
23 1 4 0
1587 12390 535 112144
1121 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 1121 – ( 6 x 23 x 1 x 0 + 3 x 23 x 42 + 3 x 12 x 4)
= 5
|
5 1587
0
–
5
a b c d
23 1 4 0 0
1587 12390 535 1544
54 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 54 – (6 x 23 x 4 x 0 + 3 x 1 x 42 + 3 x 12 x 0)
= 6
|
6 1587
0
–
6
a b c d
23 1 4 0 0 0
1587 12390 535 1464
64 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 64 – ( 6 x 1 x 4 x 0 + 3 x 23 x 02 + 43 )
= 0
|
0 12
0
–
0
O halde = 2314’tür.
Örnek 4:
= ?
76 874 051 008 ( dört basamaklı )
a
4
3 x42 76 874 051 008 (43 = 64 )
76 – 64 = 12
a
4
48 76 12874 051 008
|
128 48
96 2
–
32
a b
4 2
48 76 83274 051 008
327 – 3ab2 = 327 – 3 x 4 x 22
= 279
|
279 48
240 5
–
39
a b c
4 2 5
48 76 87394 051 008
394 – (6abc + b3 ) = 394 – (6 x 4 x 2 x 5 + 23 )
= 146
|
146 48
96 2
–
50
a b c d
4 2 5 2
48 76 874 50051 008
500 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 500 – ( 6 x 4 x 2 x 2 + 3 x 4 x 52 + 3 x 22 x 5)
= 44
|
44 48
0
–
44
a b c d
4 2 5 2 0
48 76 874 04451 008
445 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 445 – (6 x 4 x 5 x 2 + 3 x 2 x 52 + 3 x 22 x 2)
= 31
|
31 48
0
–
31
a b c d
4 2 5 2 0 0
48 76 874 05311 008
311 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 311 – ( 6 x 2 x 5 x 2 + 3 x 4 x 22 + 53 )
= 18
|
18 48
0
–
18
a b c d
4 2 5 2 0 0 0
48 76 874 051 18008
180 – (3bd2 + 3c2d ) = 180 – (3 x 2 x 22 + 3 x 52 x 2 )
= 6
|
6 48
0
–
6
a b c d
4 2 5 2 0 0 0 0
48 76 874 051 0608
60 – 3cd2 = 60 – 3 x 5 x 22
= 0
|
0 12
0
–
0
a b c d
4 2 5 2 0 0 0 0 0
48 76 874 051 0008
08 – d3 = 08 – 23
= 0
O halde = 4252’dir.
Sol baştaki iki grubu bir grup gibi düşünerek işlemi tekrar yapalım.
76874 051 008
a
42
3 x422 76874 051 008 (423 = 74088 )
76874 – 74088 = 2786
a
42
5292 76874 2786051 008
 |
27860 5292
26460 5
–
1400
a b
42 5
5292 76874 0140051 008
14005 – 3ab2 = 14005 – 3 x 42 x 52
= 10855
10855 5292
10584 2
–
271
a b c
42 5 2
5292 76874 052711 008
2711 – (6abc + b3 ) = 2711 – (6 x 42 x 1 x 4 + 13 )
= 66
66 5292
0
–
66
a b c d
42 5 2 0
5292 76874 05166008
660 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 660 – ( 6 x 42 x 5 x 0 + 3 x 42 x 22 + 3 x 52 x 2)
= 6
|
6 5292
0
–
6
a b c d
42 5 2 0 0
5292 76874 051 0608
60 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 60 – (6 x 42 x 2 x 0 + 3 x 5 x 22 + 3 x 52 x 0)
= 0
|
0 5292
0
–
0
a b c d
42 5 2 0 0 0
5292 76874 051 0008
08 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 08 – ( 6 x 5 x 2 x 0 + 3 x 42 x 02 + 23 )
= 0
|
0 5292
0
–
0
O halde = 4252’dir.
