AKILDAN KÜPKÖK BULMA TEKNİĞİ

0
6286

Akıllarımız sınırlı, fakat bu sınırlılığın şartları içerisinde sonsuz olasılıklarla çevrilmişiz. İşte hayatın gayesi bu sonsuzluktan kavrayabildiğimiz kadar çok şey kavramak.

ALFRED NORTH WHITEHEAD

Bu konuyla ilgili yeni yaklaşımlara geçmeden önce 1’den, 9’a kadar sayıların kübünü hatırlayalım ve aşağıdaki tabloyu oluşturalım.

Sayı

Kübü

Kübün son rakamı

Küpkökün son rakamı

1

1

1

1

2

8

8

2

3

27

7

3

4

64

4

4

5

125

5

5

6

216

6

6

7

343

3

7

8

512

2

8

9

729

9

9

Tablo 1

1’den, 9’a kadar sayıların küplerinin son rakamlarına dikkat edilirse hepsinin birbirinden farklı oldukları görülür. Tablo1’in ezberlenmesi işimizi çok kolaylaştıracaktır. Tablodaki kübün son rakamı ve küpkökün son rakamını ezberlemek gayet kolay. 1, 4, 5, 6 ve 9’da değişmiyor. Diğerlerinde sayının 10’dan farkına eşit oluyor.

Kübün son rakamı 2 ise, küpkökün son rakamı 10 – 2 = 8’dir.

Kübün son rakamı 3 ise, küpkökün son rakamı 10 – 3 = 7’dir.

Kübün son rakamı 7 ise, küpkökün son rakamı 10 – 7 = 3’tür.

Kübün son rakamı 8 ise, küpkökün son rakamı 10 – 8 = 2’dir.

Yaklaşım 1: Tam küplerin,küp köklerini bulmak için kullanılır. ( Küp kök bir tamsayıdır. )

Küpkökün tam kısmının basamak sayısı, küpkök içindeki sayının birler basamağından başlanılarak oluşturulan üçerli grupların sayısı kadardır. Küpkökün ilk rakamı, kübü sol baştaki gruba en yakın ve küçük olan sayıya eşittir. Küpkökün son rakamı, sağ baştaki grubun birler basamağındaki rakamdan Tablo1 yardımıyla bulunur. Küpkökü iki basamaktan büyük olan tam küpler daha ilerki örneklerde açıklanacaktır.

Kullanacağımız örneklerde i, küpkökün ilk rakamını ( onlar basamağındaki rakamı ), s ise küpkökün son rakamını ( birler basamağındaki rakam ) sembolize etsin.

Örnek 1:

= ?

Küp kök içindeki sayıyı gruplandıralım.

17 536 ( İki gruptan oluştuğu için, küpkök iki basamaklıdır. )

Kübü sol baştaki gruptan (17) küçük yada eşit olan sayı, 2’dir. 23 = 8, 33 = 27

O halde küp kökün ilk rakamı 2’dir. ( i = 2 )

Küpkök içindeki sayının sağ baştaki grubunun birler basamağındaki rakam 6’dır. Küpkökünün son rakamı 6 olan sayı ise 6’dır. ( s = 6)

i = 2, s = 6

O halde = 26’dır.

Örnek 2:

= ?

Küp kök içindeki sayıyı gruplandıralım.

39 304 ( İki gruptan oluştuğu için, küpkök iki basamaklıdır. )

Kübü sol baştaki gruptan (39) küçük yada eşit olan sayı, 3’tür. 33 = 27, 43 = 64

O halde küp kökün ilk rakamı 3’tür. ( i = 3 )

Küpkök içindeki sayının sağ baştaki grubunun birler basamağındaki rakam 4’tür. Küpkökünün son rakamı 4 olan sayı ise 4’tür. ( s = 4)

i = 3, s = 4

O halde = 34’tür.

Örnek 3:

= ?

185 193 (iki basamaklı )

i = 5 s = 7 ( Son rakamı 3 olan sayının küpkökünün son rakamı 7’dir.)

(53 = 125,

en yakın küp)

O halde = 57’dir.

Örnek 4:

= ?

571 787 (iki basamaklı )

 

i = 8 s = 3 ( Son rakamı 7 olan sayının küpkökünün son rakamı 3’tür.)

(83 = 512,

en yakın küp)

O halde = 83’tür.

Örnek 5:

= ?

941 192 (iki basamaklı )

 

i = 9 s = 8 ( Son rakamı 2 olan sayının küpkökünün son rakamı 8’dir.)

(93 = 729,

en yakın küp)

O halde = 98’dir.

Örnek 6:

= ?

41 421 736 ( üç basamaklı )

i= 3 s = 6 ( Son rakamı 6 olan sayının küpkökünün son rakamı 6’dır.)

(33= 27)

O halde = 3 . 6 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )

Örnek 7:

= ?

5 268 024 ( üç basamaklı )

i= 1 s = 4 ( Son rakamı 4 olan sayının küpkökünün son rakamı 4’tür.)

(13= 1)

O halde = 1 . 4 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )

Örnek 8:

= ?

17 173 512 ( üç basamaklı )

i= 2 s = 8 ( Son rakamı 2 olan sayının küpkökünün son rakamı 8’dir.)

(23= 8)

O halde = 2 . 8 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )

Örnek 9:

= ?

75 686 967 ( üç basamaklı )

i= 4 s = 3 ( Son rakamı 7 olan sayının küpkökünün son rakamı 3’tür.)

(43= 64)

O halde = 4 . 3 ( onlar basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )

Örnek 10:

= ?

78 677 849 125 (dört basamaklı )

i=4 s= 5 ( Son rakamı 5 olan sayının küpkökünün son rakamı 5’tir.)

(43=64)

O halde = 4 . . 5 ( onlar ve yüzler basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )

Örnek 11:

= ?

277 295 358 761 (dört basamaklı )

i=6 s= 1 ( Son rakamı 1 olan sayının küpkökünün son rakamı 1’dir.)

(63=216)

O halde = 6 . . 1 ( onlar ve yüzler basamağındaki rakamı bilmiyoruz. )

Şimdi üç basamaklı bir tam küpkökü nasıl bulacağımızı anlamaya çalışalım. Küpkök sonucunu abc şeklinde kabul edelim. abc sayısının kübünü yazıp kök içindeki sayıyla ilgisini kurarsak sonuca ulaşırız.

Öncelikle abc sayısını çözümleyip kübünü alalım.

abc = 100a + 10b + c

abc3 = ( 100a + 10b +c) ( 100a + 10b +c) ( 100a + 10b +c)

= 1000000(a3) + 100000(3a2b) + 10000(3a2c + 3ab2) + 1000(b3 + 6abc) + 100(3b2c + 3ac2) + 10(3bc2) +c3

10’un kuvvetlerini silersek;

1. Birler basamağı c3

2. Onlar basamağı 3bc2

3. Yüzler basamağı 3b2c + 3ac2

4. Binler basamağı b3 + 6abc

5. Onbinler basamağı 3a2c + 3ab2

6. Yüzbinler basamağı 3a2b

7. Milyonlar basamağı a3

ile belirlenir. Küpkökü bulmak için izleyeceğimiz basamaklar aşağıda verilmiştir.

1. Küpkök içerisindeki sayıdan c3 çıkarılır. ( Küpkökün birler basamağının nasıl bulunduğunu bir önceki konudan biliyoruz.)

2. 1.işlem sonunda elde ettiğimiz sayının birler basamağından bir önceki basamağı (onlar basamağı ), 3bc2 ‘nin birler basamağına eşitlenip b bulunur.

3. Küpkök sonucu dört basamaklı olduğunda 1.işlemin sonucundan 3bc2 çıkarılıp, kalan kısmın bir önceki basamağı 3b2c + 3ac2 işleminin sonucunun birler basamağına eşitlenip, a bulunur.Küpkökün sol baştan ilk basamağını bulmayı zaten biliyoruz.

Örnek 1:

= ?

14 348 907 ( 3 basamaklı )

i=2 s =3 ( Son rakamı 7 olan sayının küpkökünün son rakamı 3’tür.)

(23=8)

= 2 . 3 = abc a =2, c = 3

Şimdi eksik basamağı bulalım.

14348907’den, c3’ü (33 = 27) çıkaralım.

14348907

27

14348880

Sonucun onlar basamağındaki rakamı, 3bc2’ye eşitleyip, b’yi bulalım.

3bc2 = 8 ( Burada dikkat etmemiz gereken, 3bc2 işleminin sonucunun birler basamağını 8 yapan en küçük b sayısını bulmaktır. )

3b x 32 = 8

27 x b = 8 ( 7 ile 4’ü çarptığımızda birler basamağı 8 olan sayıyı elde ederiz.)

Dolayısıyla b = 4’tür.

Küpkök abc’ye eşitti.

a = 2, b = 4, c = 3

olduğuna göre ;

= 243 olur.

Örnek 2:

= ?

74 618 461 ( 3 basamaklı )

i=4 s =1 ( Son rakamı 1 olan sayının küpkökünün son rakamı 1’dir.)

(43=64)

= 4 . 1 = abc a =4, c = 1

Şimdi eksik basamağı bulalım.

74618461’den, c3’ü (13 = 1) çıkaralım.

74618461

1

74618460

Sonucun onlar basamağındaki rakamı, 3bc2’ye eşitleyip, b’yi bulalım.

3bc2 = 6 ( Burada dikkat etmemiz gereken, 3bc2 işleminin sonucunun birler basamağını 8 yapan en küçük b sayısını bulmaktır. )

3b x 12 = 6

3 x b = 6 ( 3 ile 2’yi çarptığımızda birler basamağı 6 olan sayıyı elde ederiz.)

Dolayısıyla b = 2’dir.

Küpkök abc’ye eşitti.

a = 4, b = 2, c = 1

olduğuna göre ;

= 421 olur.

Örnek 3:

= ?

163 667 323 ( 3 basamaklı )

i =5 s =7 ( Son rakamı 3 olan sayının küpkökünün son rakamı 7’dir.)

(53=125)

= 5 . 7 = abc a =5, c = 7

Şimdi eksik basamağı bulalım.

163667323’ten, c3’ü (73 = 343) çıkaralım.

163667323

343

163666980

3bc2 = 8

3b x 72 = 8

147 x b = 8 ( 7 ile çarpıldığında birler basamağı 8 olan sayı, b, 4’tür. )

Dolayısıyla b = 4’dir.

Karekök abc’ye eşitti.

a = 5, b = 4, c = 7

olduğuna göre ;

= 547 olur.

Örnek 4:

= ?

549 353 259 ( 3 basamaklı )

i =8 s =9 ( Son rakamı 9 olan sayının küpkökünün son rakamı 9’dur.)

(83=512)

= 8 . 9 = abc a =8, c = 9

549353259’dan, c3’ü (93 = 729) çıkaralım.

549353259

729

549352530

3bc2 = 3

3b x 92 = 3

243 x b = 3 ( 243 ile çarpıldığında birler basamağı 3 olan sayı, b, 1’dir. )

Dolayısıyla b = 1’dir.

Küpkök abc’ye eşitti.

a = 8, b = 1, c = 9

olduğuna göre ;

= 819’dur.

Örnek 5:

= ?

80 341 955 875 ( 3 basamaklı )

i =4 s =5 ( Son rakamı 5 olan sayının küpkökünün son rakamı 5’tir.)

(43=64)

= 4 . . 5 = 4abc c = 5

80341955875’ten, c3’ü (53 = 125) çıkaralım.

80341955875

125

80341955750

3bc2 = 5

3b x 52 = 5

75 x b = 5 ( 75 ile çarpıldığında birler basamağı 3 olan sayı, 1, 3, 5, 7, 9 olabilir. )

Bu durumda kök içindeki sayıyı üç kere 5’e bölüp küpkökünü bulduktan sonra 5 ile çarpmak bu sorunun giderilmesini sağlayacaktır. ( 5 seçmemizin nedeni kök içerisindeki sayının birler basamağının 5 olmasıdır. Küpün birler basmağındaki rakam 5 iken, küpkökün birler basamağındaki rakam yine 5’ti. )

80341955875 / 5 = 16068391175

16068391175 / 5 = 3213678235

3213678235 / 5 = 642735647

642 735 647

i=8 s = 3

(83=512)

8 . 3 = abc, a = 8, c = 3

c3 = 33 = 27

642735647

27

 

642735620

3bc2 = 2

3b x 32

27 x b = 2

b = 6 olur.

Bu durumda ikinci küpkökün sonucu 863 olur.

Bizim cevabımız bulduğumuz bu sayının 5 katıydı. (üç kere 5’e böldüğümüz için )

863 x 5 = 4315

O halde = 4315’tir.

Örnek 6:

= ?

18 046 578 367 ( 4 basamaklı )

i = 2 s = 3

(23 =8)

2 . . 3 = 2abc à c = 3

c3 = 33 = 27

18046578367

27

 

18046578340

3b x 32 = 4

27b = 4 à b = 2

Onlar basamağından itibaren sayıyı 3bc2 den çıkarıp, yüzler basamağındaki sayı 3b2c + 3ac2 nin birler basamağına eşitlenip, a bulunur.

3bc2 = 3 x 2 x 32

= 54

18046578340

54

18046577800

3b2c + 3ac2 = 3 x 22 x 3 + 3 x a x 32

36 + 27a = 8 ( a yerine 6 yazılırsa işlemin sonucunun birler basamağı 8 olur. )

Küpkök 2abc ye eşitti.

a= 6, b= 2, c = 3

O halde = 2623 olur.

Örnek 7:

= ?

67 468 849 911 ( 4 basamaklı )

i = 4 s = 1

(43 =64)

4 . . 1 = 4abc à c = 1

c3 = 13 = 1

67468849911

1

67468849910

3b x 12 = 1

3b = 1 à b = 7

Onlar basamağından itibaren sayıyı 3bc2 den çıkarıp, yüzler basamağındaki sayı 3b2c + 3ac2 nin birler basamağına eşitlenip, a bulunur.

3bc2 = 3 x 7 x 12

= 21

67468849910

21

67468849700

3b2c + 3ac2 = 3 x 72 x 1 + 3 x a x 12

147 + 3a = 7 ( a yerine 0 yazılırsa işlemin sonucunun birler basamağı 7 olur. )

Küpkök 4abc ye eşitti.

a= 0, b= 7, c = 1

O halde = 4071 olur.

Buraya kadarki örneklere dikkat ederseniz, hepsinin birler basamağındaki sayılar tek sayıdır. Çift sayı olursa ne yapacağız ? Bu seferde sayıyı bölümün birler basamağındaki rakam tek sayı çıkıncaya kadar 8’e böleceğiz ve küpkökünü bulup, kaç kere 8’e bölmüşsek, o kadar 2 ile çarpacağız.

Örnek 8:

= ?

( Karekök içindeki sayıyı 8’e bir kez böldüğümüzde elde ettiğimiz bölümün birler basamağındaki rakam tek olduğu için, sonuçta bulduğumuz bölümün küpkökünü 2 ile çarpacacağız.

9800344 ¸ 8 = 1225043

1 225 043

i = 1 s = 7

(13 = 1)

1 . 7 = abc à a = 1, c = 7

c3 = 73 = 343

1225043

343

1224700

3 x b x 72 = 0

147b = 0

b = 0

Küpkök abc ye eşitti.

a = 1, b = 0, c = 7

1225043 = 107

Sonucu 2 ile çarparsak 107 x 2 = 214

O halde = 214 olur.

Yaklaşım 2 :

Bu yaklaşımda küpkökü alınacak sayının tam küp olup olmadığı hakkında bir fikrimizin olmasına gerek yoktur. O yüzden genel bir yaklaşım olarak alabiliriz. Örneklerle konuyu anlatmaya çalışacağım. Başlangıç olarak küpkökün tam kısmının üç basamaklı olduğu sayıları inceleyelim.

Örnek 1:

= ?

Verilen sayı sağ baştan başlanılarak üçerli gruplara ayrılır ve kübü sol baştaki gruba eşit yada en yakın küçük sayı çizginin üstüne yazılır. Bu sayının kübü ilk gruptan çıkarılarak bir sonraki grubun önüne yazılır. Bölenimiz ise çizginin üstündeki sayının karesinin üç katına eşittir. ( Bölen karekök bulma konusunda anlattığımız gibi sol tarafa yazılır. )

a

6

3 x 62 239 483 061 (63 = 216 )

239 – 216 = 23

a

6

108 239 23483 061

Elde ettiğimiz sayıyı bölene bölünüp, bölüm çizginin yukarasına, kalan, bir sonraki sayının önüne yazılır.

234 108

216 2

18

a b

6 2

108 239 41883 061

Bir sonraki sayıdan 3ab2 çıkarılarak, bölene bölünüp, bölüm çizginin üstüne, kalan, bir sonraki sayının önüne yazılır.

3 x a x b2 = 3 x 6 x 22 = 72

188 – 72 = 116

116 108

108 1

08

a b c

6 2 1

108 239 4883 061

Bir sonraki sayıdan, b3 + 6abc çıkarılıp işleme yukarıdaki gibi devam edilir.

b3 + 6abc = 23 + 6 x 6 x 2 x 1= 80

83 – 80 = 3

3 108

0 0

3

a b c

6 2 1 0

108 239 483 3061

Bir sonraki sayıdan 3ac2 + 3b2c çıkarılarak işleme devam edilir.

3ac2 + 3b2c = 3 x 6 x 12 + 3 x 22 x 1 = 30

30 – 30 = 0

0 108

0 0

0

a b c

6 2 1 0 0

108 239 483 0061

Bir sonraki sayıdan 3bc2 çıkarılarak işleme devam edilir.

3bc2 = 3 x 2 x 12 = 6

06 – 6 = 0

0 108

0 0

0

a b c

6 2 1 0 0 0

108 239 483 0601

Bir sonraki sayıdan c3 çıkarılarak işleme devam edilir.

c3 = 13 = 1

01 – 1 = 0

0 108

0 0

0

Kalan 0 olduğu için küpkök içindeki sayı, tam küptür. Küpkök içindeki sayı üç gruptan oluştuğu için, çizginin üstindeki sayılardan ilk üçü, istenilen sonuçtur.

Dolayısıyla = 621’dir.

İşlem sıralamasına dikkat edersek , başlangıçta sol baştaki gruba eşit yada en yakın olan küçük sayının kübünü çıkarıp, bölene bölüyoruz. Daha sonra sırasıyla,

3ab2

b3 + 6abc

3ac2 + 3b2c

3bc2

c3

çıkarmalarını yapıyoruz.

Örnek 2:

= ? ( virgülden sonra üç basamağa kadar )

312,0000….. ( virgülden sonra istediğimiz kadar 0 yazabiliriz. )

a

6

3 x 62 312, 00000 (63 = 216 )

312 – 216 = 96 ( bir sonraki grubun önüne yazılacak. )

a

6

3 x 62 312, 9600000

Elde ettiğimiz sayı bölene bölünüp, bölüm çizginin yukarasına, kalan, bir sonraki sayının önüne yazılır.

960 108

864 8

96

a b

6, 8

108 312, 0960000

960 – 3ab2 = 960 – 3 x 6 x 82

= 960 – 1152

= -192

Sonuç negatif çıktığı için bir önceki bölümün değerini bir azaltırız. ( 8 iken 7 olacak. )

960 108

756 7

204

a b

6, 7

108 312, 02040000

2040 – 3ab2 = 2040 – 3 x 6 x 72

= 2040 – 882

= 1158

Bir sonraki işlemde sonucun tekrar negatif çıkmasını engellemek için 8 yazıyoruz.

1158 108

864 8

294

a b c

6, 7 8

108 312, 00294 000

2940 – (b3 + 6abc) = 2940 – (73 + 6 x 6 x 7 x 8)

= 2940 – 2359

= 581

581 108

216 2

365

a b c

6, 7 8 2

108 312, 00036500

Küpkökün sonucunu virgülden sonra üç basamağa kadar bulduk.

O halde = 6,782’dir.

Örnek 3:

= ?

1 354, 067 ( Bu durumda sol baştaki iki grubu birleştirebiliriz. Size tavsiyem 20’ye kadar sayıların karesini ve küpünü ezberleyin. Bu bize karekök ve köpkök bulmada çok yardımcı olur. )

a

11,

3×112 1354, 067 (113 = 1331 )

1354 – 1331 = 23

a

11,

363 1354, 23067

230, 363’e bölünmediği için, çizginin yukarısındaki sayının yanına bir 0 yazıp, gruptaki diğer sayıyı 230’dan sonraki sayıyıda yazıp bölme işlemini tekrar yapıyoruz.

230 363

0

230

a

11, 0

363 1354, 23067

2306 363

2178 6

128

a b c

11, 0 6

363 1354, 061287

O halde = 11, 06’dır.

Örnek 4:

= ?

6 225 535 (Sol baştaki iki grubu birleştirelim)

a

18

3×182 6225 535 (183 = 5832 )

6225 – 5832 = 393

a

18

972 6225 393535

3935 972

3

1019

a b

18 3,

972 6225 5101935

10193 – 3ab2 = 10193 – 3 x 18 x 32

= 10193 – 486

= 9707

9707 972

8748 9

959

a b c

18 3, 9

972 6225 539595

9595 – (b3 + 6abc) = 9595 – (33 + 6 x 18 x 3 x 9)

= 9595 – 2943

= 6652

6652 972

5832 6

820

a b c

( İşlemler sonunda küpkök içindeki sayılar biterse sonuna istediğimiz kadar 0 yazabiliriz )

18 3, 9 6

972 6225 5358200

O halde = 183, 96’dır.

Sol baştaki grup küçük olduğunda işlemi yapmak zorlaşır. O yüzden sol baştaki grubu 23, 33, 43, 53 vb sayılarla çarpıp en sonda hangi sayıyıla çarptıysak o sayının tabanındaki sayıya ( 2, 3, 4, 5 ….) böleriz.

Örnek 5:

= ?

3, küçük olduğu için 53 ile çarpalım. ( Burada 53 keyfi kullanılmıştır, isterseniz başka bir sayı kullanabilirsiniz. )

3 x 53 = 3 x 125 = 375

Soru bu durumda 375 = ? şekline geldi.’i bulup, sonucu 5’e böleceğiz.

a

7

3×72 375, 0000 (73 = 343 )

375 – 343 = 32

a

7

147 375, 320000

320 147

294 2

26

a b

7, 2

147 375, 026000

260 – 3ab2 = 260 – 3 x 7 x 22

= 260 – 84

= 176

176 147

147 1

29

a b c

7, 2 1

147 375, 002900

290 – (b3 + 6abc) = 290 – (23 + 6 x 7 x 2 x 1)

= 290 – 92

= 198

198 147

147 1

51

a b c

7, 2 1 1

147 375, 000510

510 – (3ac2 + 3b2c ) = 510 – (3 x 7 x 12 + 3 x 22 x 1 )

= 510 – 33

= 473

473 147

294 2

179

a b c

7, 2 1 1 2

147 375, 00001790

= 7,2112’dir.

’ü bulmak için elde ettiğimiz sayıyı 5’e bölelim.

7,2112 ¸ 5 = 1,44224

O halde = 1,44224’tür.

Örnek 6:

= ?

Kök içindeki sayıyı 53 ile çarpalım.

10 x 53 = 1250

’i bulup, sonucu 5’e böleceğiz.

a

10

3×102 1250, 0000 (103 = 1000 )

1250 – 1000 = 250

a

10

300 1250, 2500000

2500 300

2100 7

400

a b

10, 7

300 1250, 04000000

4000 – 3ab2 = 4000 – 3 x 10 x 72

= 4000 – 1470

= 2530

2530 300

2100 7

430

a b c

10, 7 7

300 1250, 00430000

4300 – (b3 + 6abc) = 4300 – (73 + 6 x 10 x 7 x 7)

= 4300 – 3283

= 1017

1017 300

600 2

417

a b c

10, 7 7 2

300 1250, 00041700

4170 – (3ac2 + 3b2c ) = 4170 – (3 x 10 x 72 + 3 x 72 x 7 )

= 4170 – 2499

= 1671

1671 300

300 1

1371

a b c

10, 7 7 2 1

300 1250, 000013710

= 10,7721’dir.

’u bulmak ,için 5’e bölelim.

10,7721¸ 5 = 2,15442

O halde = 2,15442’dir.

Örnek 7:

= ?

2 744 ( iki basamaklı )

a

1

3 x12 2 744 (13 = 1 )

2 – 1 = 1

a

1

3 2 1744

17 3

12 4

5

a b

1 4

3 2 7544

54 – 3ab2 = 54 – 3 x 1 x 42

= 54 – 48

= 6

6 3

0

6

a b c

1 4, 0

3 2 7464

64– (b3 + 6abc) = 64 – (43 + 6 x 1 x 4 x 0)

= 64 – 64

= 0

O halde = 14’tür.

Örnek 8:

= ?

17 576 ( iki basamaklı )

a

2

3 x22 17 576 (23 = 8 )

17 – 8 = 9

a

2

12 17 9576

95 12

72 6

23

a b

2 6

12 17 52376

237 – 3ab2 = 237 – 3 x 2 x 62

= 237 – 216

= 21

21 12

0

21

a b c

2 6 0

12 17 57216

216– (b3 + 6abc) = 216 – (63 + 6 x 2 x 6 x 0)

= 216 – 216

= 0

O halde = 26’dır.

Örnek 9:

= ?

34 012 224 ( üç basamaklı )

a

3

3 x32 34 012 224 (33 = 27 )

34 – 27 = 7

a

3

27 34 7012 224

70 27

54 2

16

a b

3 2

27 34 01612 224

161 – 3ab2 = 161 – 3 x 3 x 22

= 161 – 36

= 125

125 27

108 4

17

a b c

3 2 4,

27 34 01172 224

172– (b3 + 6abc) = 172 – (23 + 6 x 3 x 2 x 4)

= 172 – 1525

= 20

20 27

0

20

a b c

3 2 4, 0

27 34 012202 24

202 – (3ac2 + 3b2c ) = 202 – (3 x 3 x 42 + 3 x 22 x 4 )

= 202 – 192

= 10

10 27

0

10

a b c

3 2 4, 0 0

27 34 012 21024

102 – 3bc2 = 102 – 3 x 2 x 42

= 102 – 96

= 6

6 27

0

6

a b c

3 2 4, 0 0 0

27 34 012 2264

64 – c3 = 64 – 43

= 64 – 64

= 0

0 27

0

0

a b c

3 2 4, 0 0 0 0

27 34 012 2264

O halde = 324’tür.

Örnek 10:

= ?

102 ( bir basamaklı )

a

4

3 x42 102, 0000 (43 = 64 )

102 – 64 = 38

a

4,

48 102, 380000

380 48

288 6

92

a b

4, 6

48 102, 092000

920 – 3ab2 = 920 – 3 x 4 x 62

= 920 – 432

= 488

488 48

336 7

152

a b c

4, 6 7

48 102, 0015200

1520– (b3 + 6abc) = 1520 – (63 + 6 x 4 x 6 x 7)

= 1520 – 1224

= 296

296 48

2

200

a b c

4, 6 7 2

48 102, 0002000

2000 – (3ac2 + 3b2c ) = 2000 – (3 x 4 x 72 + 3 x 62 x 7 )

= 2000 – 1344

= 656

656 48

144 3

512

Buradaki işlemlerde, bölümün küçük alınmasının nedeni bir sonraki işlemlerin sonucunun pozitif çıkmasıdır.

a b c

4, 6 7 2 3

48 102, 0002000

O halde = 4,6723’tür.

Örnek 11:

= ?

39 304 ( iki basamaklı )

a

3

3 x32 39 304 (33 = 27 )

39 – 27 = 12

a

3

27 39 12304

123 27

108 4

15

a b

3 4

27 39 31504

150 – 3ab2 = 150 – 3 x 3 x 42

= 150 – 144

= 6

6 27

0

6

a b c

3 4 0

27 39 3064

64– (b3 + 6abc) = 64 – (43 + 6 x 3 x 4 x 0)

= 64 – 64

= 0

0 48

0

0

a b c

3 4 0 0

27 39 304

O halde = 34’tür.

Örnek 12:

= ?

84 027 672 ( üç basamaklı )

a

4

3 x42 84 027 672 (43 = 64 )

84 – 64 = 20

a

4

48 84 20027 672

200 48

144 3

56

a b

4 3

48 84 05627 672

562 – 3ab2 = 562 – 3 x 4 x 32

= 562 – 108

= 454

454 48

384 8

70

a b c

4 3 8,

48 84 02707 672

707– (b3 + 6abc) = 707 – (33 + 6 x 4 x 3 x 8)

= 707 – 603

= 104

104 48

0

104

a b c

4 3 8, 0

48 84 027 104672

1046 – (3ac2 + 3b2c ) = 1046 – (3 x 4 x 82 + 3 x 32 x 8 )

= 1046 – 984

= 62

62 48

0

62

a b c

4 3 8, 0 0

48 84 027 66272

627 – 3bc2 = 627 – 3 x 3 x 82

= 627 – 576

= 51

51 48

0

51

a b c

4 3 8, 0 0 0

48 84 027 67512

512 – c3 = 512 – 83

= 512 – 512

= 0

0 48

0

0

a b c

4 3 8, 0 0 0 0

48 84 027 672

O halde = 438’dir.

Örnek 13:

= ?

86 350 888 ( üç basamaklı )

a

4

3 x42 86 350 888 (43 = 64 )

86 – 64 = 22

a

4

48 86 22350 888

223 48

192 4

31

a b

4 4

48 86 33150 888

315 – 3ab2 = 315 – 3 x 4 x 42

= 315 – 192

= 123

123 48

96 2

27

a b c

4 4 2,

48 86 35270 888

270– (b3 + 6abc) = 270 – (43 + 6 x 4 x 4 x 2)

= 270 – 256

= 14

14 48

0

14

a b c

4 4 2, 0

48 86 350 14888

148 – (3ac2 + 3b2c ) = 148 – (3 x 4 x 22 + 3 x 42 x 2 )

= 148 – 144

= 4

4 48

0

4

a b c

4 4 2, 0 0

48 86 350 8488

48 – 3bc2 = 48 – 3 x 4 x 22

= 48 – 48

= 0

0 48

0

0

a b c

4 4 2, 0 0 0

48 86 350 8808

08– c3 = 08 – 23

= 08 – 8

= 0

0 48

0

0

a b c

4 4 2, 0 0 0 0

48 86 350 888

O halde = 442’dir.

Küpkökün tam kısmının dört basamaklı olduğu durumudaki bağıntımızı sistematikleştirelim.

(a+b+c+d)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + 3ac2 + 6abc + b3 + 3a2d + 6abd + 3ac2 + 3b2c + 6acd + 3bc2 + 3b2d + 6bcd + 3ad2 + c3 + 3bd2 + 3c2d + 3cd2 +d3

Burada basamaklar soldan sağa doğru;

1. rakam à a3

2. rakam à 3a2b

3.rakam à 3ab2 + 3ac2

4. rakam à 6abc + b3 + 3a2d

5. rakam à 6abd + 3ac2 + 3b2c

6.rakam à 6acd + 3bc2 + 3b2d

7. rakam à 6bcd + 3ad2 + c3

8. rakam à 3bd2 + 3c2d

9. rakam à 3cd2

10. rakam à d3

işlemleriyle ifade edilir.

Başlangıç için daha önceden kullandığımız mantığı kullanacağız. Çıkarma sıralaması ise ;

3ab2

6abc + b3

6abd + 3ac2 + 3b2c

6acd + 3bc2 + 3b2d

6bcd + 3ad2 + c3

3bd2 + 3c2d

3cd2

d3

şeklindedir.

Üç basamaklı küpkök için d= 0 alınırsa bir önceki işlemlerde elde edilen çıkarmalar bulunur.

Örnek 1:

= ?

11 360 276 992 ( dört basamaklı )

a

2

3 x22 11 360 276 992 (23 = 8 )

11 – 8 = 3

a

2

12 11 3360 276 992

33 12

24 2

9

a b

2 2

12 11 3960 276 992

96 – 3ab2 = 96 – 3 x 2 x 22

= 96 – 24

= 72

72 12

48 4

24

a b c

2 2 4

12 11 36240 276 992

240 – (6abc + b3 ) = 240 – (6 x 2 x 2 x 4 + 23 )

= 240 – 104

= 136

136 12

96 8

40

a b c d

2 2 4 8

12 11 360 40276 992

402 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 402 – ( 6 x 2 x 2 x 8 + 3 x 2 x 42 + 3 x 22 x 4)

= 66

66 12

0

66

a b c d

2 2 4 8 0

12 11 360 26676 992

407 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 407 – (6 x 2 x 4 x 8 + 3 x 2 x 42 + 3 x 22 x 8)

= 91

91 12

0

91

a b c d

2 2 4 8 0 0

12 11 360 27916 992

916 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 916 – ( 6 x 2 x 4 x 8 + 3 x 2 x 82 + 43 )

= 84

84 12

0

84

a b c d

2 2 4 8 0 0 0

12 11 360 276 84992

849 – (3bd2 + 3c2d ) = 849 – (3 x 2 x 82 + 3 x 42 x 8 )

= 81

81 12

0

81

a b c d

2 2 4 8 0 0 0 0

12 11 360 276 98192

819 – 3cd2 = 819 – 3 x 4 x 82

= 51

51 12

0

51

a b c d

2 2 4 8 0 0 0 0 0

12 11 360 276 99512

512 – d3 = 512 – 83

= 0

O halde = 2248’dir.

Örnek 2:

= ?

11 329 982 936 ( dört basamaklı )

Sol baştaki iki grubu birleştirelim.

11329 982 936

a

22

3 x222 11329 982 936 (223 = 10648 )

11329 – 10648 = 681

a

22

1452 11329 681982 936

6819 1452

5808 4

1011

a b

22 4

1452 11329 9101182 936

10118 – 3ab2 = 10118 – 3 x 22 x 42

= 10118 – 1056

= 9062

9062 1452

8712 6

350

a b c

22 4 6

1452 11329 983502 936

3502 – (6abc + b3 ) = 3502 – (6 x 22 x 4 x 6 + 43 )

= 3502 – 3232

= 270

270 1452

0

270

a b c d

22 4 6 0

1452 11329 982 270936

2709 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 2709 – ( 6 x 22 x 4 x 0 + 3 x 22 x 62 + 3 x 42 x 6)

= 45

45 1452

0

45

a b c d

22 4 6 0 0

1452 11329 982 94536

453 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 453 – (6 x 22 x 6 x 0 + 3 x 4 x 62 + 3 x 42 x 0)

= 21

21 1452

0

21

a b c d

22 4 6 0 0

1452 11329 982 93216

216 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 216 – ( 6 x 4 x 6 x 0 + 3 x 22 x 02 + 63 )

= 0

0 12

0

0

O halde = 2246’dir.

Örnek 3:

= ?

12 390 535 144 ( dört basamaklı )

a

2

3 x22 12 390 535 144 (23 = 8 )

12 – 8 = 4

a

2

12 12 4390 535 144

43 12

36 3

7

a b

2 3

12 12 3790 535 144

79 – 3ab2 = 96 – 3 x 2 x 32

= 25

25 12

12 1

13

a b c

2 3 1

12 12 39130 535 144

130 – (6abc + b3 ) = 130 – (6 x 2 x 3 x 1 + 33 )

= 67

67 12

48 4

19

a b c d

2 3 1 4

12 12 390 19535 144

195 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 195 – ( 6 x 2 x 3 x 4 + 3 x 2 x 12 + 3 x 32 x 1)

= 18

18 12

0

18

a b c d

2 3 1 4 0

12 12 390 51835 144

183 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 183 – (6 x 2 x 1 x 4 + 3 x 3 x 12 + 3 x 32 x 4)

= 18

18 12

0

18

a b c d

2 3 1 4 0 0

12 12 390 53185 144

185 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 185 – ( 6 x 2 x 3 x 4 + 3 x 2 x 42 + 13 )

= 16

16 12

0

16

a b c d

2 3 1 4 0 0

12 12 390 535 16144

161 – (3bd2 + 3c2d ) = 161 – (3 x 3 x 42 + 3 x 12 x 4 )

= 5

5 12

0

5

a b c d

2 3 1 4 0 0 0

12 12 390 535 1544

54 – 3cd2 = 54 – 3 x 1 x 42

= 6

6 12

0

6

a b c d

2 3 1 4 0 0 0 0

12 12 390 535 1464

64 – d3 = 64 – 43

= 0

O halde = 2314’dir.

Sol baştaki iki grubu bir grup gibi düşünerek işlemi tekrar yapalım.

12390 535 144

a

23

3 x232 12390 535 144 (233 = 12167 )

12390 – 12167 = 223

a

23

1587 12390 223535 144

2235 1587

1587 1

648

a b

23 1

1587 12390 564835 144

6483 – 3ab2 = 6483 – 3 x 23 x 12

= 6414

6414 1587

6348 4

66

a b c

23 1 4

1587 12390 53665 144

665 – (6abc + b3 ) = 665 – (6 x 23 x 1 x 4 + 13 )

= 112

112 1587

0

112

a b c d

23 1 4 0

1587 12390 535 112144

1121 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 1121 – ( 6 x 23 x 1 x 0 + 3 x 23 x 42 + 3 x 12 x 4)

= 5

5 1587

0

5

a b c d

23 1 4 0 0

1587 12390 535 1544

54 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 54 – (6 x 23 x 4 x 0 + 3 x 1 x 42 + 3 x 12 x 0)

= 6

6 1587

0

6

a b c d

23 1 4 0 0 0

1587 12390 535 1464

64 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 64 – ( 6 x 1 x 4 x 0 + 3 x 23 x 02 + 43 )

= 0

0 12

0

0

O halde = 2314’tür.

Örnek 4:

= ?

76 874 051 008 ( dört basamaklı )

a

4

3 x42 76 874 051 008 (43 = 64 )

76 – 64 = 12

a

4

48 76 12874 051 008

128 48

96 2

32

a b

4 2

48 76 83274 051 008

327 – 3ab2 = 327 – 3 x 4 x 22

= 279

279 48

240 5

39

a b c

4 2 5

48 76 87394 051 008

394 – (6abc + b3 ) = 394 – (6 x 4 x 2 x 5 + 23 )

= 146

146 48

96 2

50

a b c d

4 2 5 2

48 76 874 50051 008

500 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 500 – ( 6 x 4 x 2 x 2 + 3 x 4 x 52 + 3 x 22 x 5)

= 44

44 48

0

44

a b c d

4 2 5 2 0

48 76 874 04451 008

445 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 445 – (6 x 4 x 5 x 2 + 3 x 2 x 52 + 3 x 22 x 2)

= 31

31 48

0

31

a b c d

4 2 5 2 0 0

48 76 874 05311 008

311 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 311 – ( 6 x 2 x 5 x 2 + 3 x 4 x 22 + 53 )

= 18

18 48

0

18

a b c d

4 2 5 2 0 0 0

48 76 874 051 18008

180 – (3bd2 + 3c2d ) = 180 – (3 x 2 x 22 + 3 x 52 x 2 )

= 6

6 48

0

6

a b c d

4 2 5 2 0 0 0 0

48 76 874 051 0608

60 – 3cd2 = 60 – 3 x 5 x 22

= 0

0 12

0

0

a b c d

4 2 5 2 0 0 0 0 0

48 76 874 051 0008

08 – d3 = 08 – 23

= 0

O halde = 4252’dir.

Sol baştaki iki grubu bir grup gibi düşünerek işlemi tekrar yapalım.

76874 051 008

a

42

3 x422 76874 051 008 (423 = 74088 )

76874 – 74088 = 2786

a

42

5292 76874 2786051 008

27860 5292

26460 5

1400

a b

42 5

5292 76874 0140051 008

14005 – 3ab2 = 14005 – 3 x 42 x 52

= 10855

10855 5292

10584 2

271

a b c

42 5 2

5292 76874 052711 008

2711 – (6abc + b3 ) = 2711 – (6 x 42 x 1 x 4 + 13 )

= 66

66 5292

0

66

a b c d

42 5 2 0

5292 76874 05166008

660 – (6abd + 3ac2 + 3b2c ) = 660 – ( 6 x 42 x 5 x 0 + 3 x 42 x 22 + 3 x 52 x 2)

= 6

6 5292

0

6

a b c d

42 5 2 0 0

5292 76874 051 0608

60 – (6acd + 3bc2 + 3b2d ) = 60 – (6 x 42 x 2 x 0 + 3 x 5 x 22 + 3 x 52 x 0)

= 0

0 5292

0

0

a b c d

42 5 2 0 0 0

5292 76874 051 0008

08 – (6bcd + 3ad2 + c3 ) = 08 – ( 6 x 5 x 2 x 0 + 3 x 42 x 02 + 23 )

= 0

0 5292

0

0

O halde = 4252’dir.

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz
Lütfen adınızı yazınız