Akıldan Bölme İşlemleri

0
835

Yaklaşım 1:

Öncelikle özel durumdan başlayıp, genele doğru örneklerle yaklaşımı açıklamaya çalışacağım.

9 ile bölme:

12345’i, 9’a bölerken izlenecek basamaklar tek tek anlatılmıştır. Basamakları dikkatlice izleyin.

Bölünen sayının birler basamağı kalan için ayrılır.

Sayı, 12345 ise 1 2 3 4 / 5 şeklinde ayrılır.

Bölünen sayının sol baştan ilk basamağındaki sayı, kendisinin altına, bir basamak sağa kaydırılarak yazılır.

1 2 3 4 / 5 ( Sol baştaki ilk rakamı 1, 12345’in altına bir basamak sağa kayılarak yazılacak. )

1 2 3 4 / 5

1

Daha sonra bu rakam üstündeki rakamla toplanarak, alt taraftaki rakamın bir basamak sağına yazılır.

1 2 3 4 / 5

1

1, üstündeki rakam (2) ile toplanarak , 1+2 = 3, alt taraftaki 1’in yanına bir basamak sağa kayarak yazılır.

1 2 3 4 / 5

1 3

3, üstündeki rakam (3) ile toplanarak , 3+3 = 6, alt taraftaki 3’ün yanına bir basamak sağa kayarak yazılır.

1 2 3 4 / 5

1 3 6

6, üstündeki rakam (4) ile toplanarak , 6+4 = 10, alt taraftaki 6’nın yanına bir basamak sağa kayarak yazılır.

1 2 3 4 / 5

1 3 6 10

Sağ baştan başlanılarak genel toplam yapılır. Kalan için ayrılan kısımdaki toplam 9’dan büyük olursa, toplamı 9’a bölüp, bölümü bir soldaki basamağa elde olarak verip, kalanı yazarız.

Sağ baştan başlayalım. 5 +10 = 15, toplam 9’dan büyük olduğu için, 15’i, 9’a böleriz. 15 ¸ 9 à ( Bölüm 1, Kalan 6 ) Kalan yazılıp, bölüm, bir soldaki sayıya elde olarak verilir.

1 2 3 4 / 5

+ 1 3 6 10

/ 6

4 +6 = 10, bir önceki işlemden elde 1’i ilave edelim. 10 + 1 = 11

1 yazılır, diğer 1 elde olarak bir soldaki işleme eklenir.

1 2 3 4 / 5

+ 1 3 6 10

1 / 6

3 +3 = 6, bir önceki işlemden elde 1’i ilave edelim. 6 + 1 = 7

1 2 3 4 / 5

+ 1 3 6 10

7 1 / 6

2 +1 = 3

1 2 3 4 / 5

+ 1 3 6 10

3 7 1 / 6

1 + 0 = 1

1 2 3 4 / 5

+ 1 3 6 10

1 3 7 1 / 6

Genel toplam sonunda solda kalan kısım bölümü, sağda kala kısım ise kalanı verir. Bu durumda kalan 6, bölüm 1371 olur.

Örnek 1 :

13 9

Þ 1 / 3

+ 1

+

1 / 4

Bölüm Kalan

Örnek 2 :

26 9

Þ 2 / 6

2

+

2 / 8

 

Bölüm Kalan

Örnek 3 :

34 9

Þ 3 / 4

3

+

3 / 7

 

Bölüm Kalan

Örnek 4 :

51 9

Þ 5 / 1

5

+

5 / 6

 

Bölüm Kalan

Örnek 5 :

62 9

Þ 6 / 2

6

+

6 / 8

 

Bölüm Kalan

Örnek 6 :

71 9

Þ 7 / 1

7

+

7 / 8

 

Bölüm Kalan

Örnek 7 :

80 9

Þ 8 / 0

/ 8

+

8 / 8

 

Bölüm Kalan

Örnek 8:

67 9

Þ 6 / 7

6

+

6 / 13 ( 13 ¸ 9 à bölüm 1, kalan 4 )

6+1 / 4

7 / 4

 

Bölüm Kalan

Örnek 9 :

106 9

Þ 10 / 6

1 1

+

11 / 7

Bölüm Kalan

Örnek 10 :

111 9

Þ 11 / 1

1 / 2

+

12 / 3

Bölüm Kalan

Örnek 11 :

123 9

Þ 12 / 3

1 / 3

+

13 / 6

Bölüm Kalan

Örnek 12 :

161 9

Þ 16 / 1

1 / 7

+

17 / 8

Bölüm Kalan

Örnek 13 :

411 9

Þ 41 / 1

4 / 5

+

45 / 6

Bölüm Kalan

Örnek 14 :

511 9

Þ 51 / 1

5 / 6

+

56 / 7

Bölüm Kalan

Bölenin basamak sayısını biraz daha arttıralım.Kuralı daha da genelleştirelim.

Bölünen sayı, sağ baştan (birler basamağından) itibaren, bölenin basamak sayısı kadar ayrılır.

Örnek :

214364 ¸ 98 işleminde bölünen 2143 / 64 ( bölen iki basamaklı )

82462896 ¸ 892 işleminde bölünen 82462 / 896 ( bölen üç basamaklı )

şeklinde ayrılır.

Bölen kendisine en yakın ve kendisinden büyük olan 10’un kuvvetinden çıkarılır.

Örnek :

Bölen 8 ise 10 – 8 = 2

Bölen 94 ise 100 – 94 = 06

Bölen 984 ise 1000 – 984 =016 olur.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, kalanın basamak sayısı ile bölenin basamak sayısının aynı olmasıdır.

Bölünen sayının en solundaki rakam, ikinci işlemin sonucuyla çarpılıp bölünen sayının altına bir basamak sağa kaydırılarak yazılır.

Örnek :

13241 ¸ 96

İlk iki işlemi uygulayalım.

132 / 41

100 – 96 = 04

Şimdi üçüncü işlemi uygulayalım.

132 / 41

1 x 04 = 04

132 / 41

04

Bir önceki işlemde yazdığımız sayının en solundaki rakam bir üstteki rakam ile toplanıp, ikinci işlemin sonucuyla çarpılarak, bir önceki işlemdeki sayının altına bir basamak daha sağa kayılarak yazılır.Bu mantık bölünen sayının birler basamağının altına ulaşıncaya kadar devam eder.

Bir önceki örneğe bu işlemi uygulayalım.

132 / 41

04

3 + 0 = 3

3 x 04 = 12 ( 04’ün altına bir basamak sağa kayılarak yazılır.)

132 / 41

04

1 2

Bir basamak daha sağa ilerleyelim.

2 + 4 + 1 = 7

7 x 04 = 28 (12’nin altına bir basamak sağa kayılarak yazılır.)

132 / 41

04

1 2

28

Son olarak ayırdığımız kısmın solundaki toplam, böleni, sağındaki toplam ise kalanı verir. Kalan sayı, bölenden büyükse, bölene bölünür. Bu işlem sonundaki bölüm elde olarak bir soldaki rakama eklenir, kalan ise bölme işleminin sonundaki kalana eşit olur.

132 / 41

04

1 2

+ 28

137 / 89

 

Bölüm Kalan

Örnek 1 :

114 89

Þ 1 / 14 , 100 – 89 = 11

1 / 14 , 1 x 11 = 11

1 / 14

+ 11

1 / 25

 

Bölüm Kalan

Örnek 2 :

124 81

Þ 1 / 24 , 100 – 81 = 19

1 / 24 , 1 x 19 = 19

1 / 24

+ 19

1 / 43

 

Bölüm Kalan

Örnek 3 :

1243 888

Þ 1 / 243 , 1000 – 888 = 112

1 / 243 , 1 x 112 = 112

1 / 243

+ 112

1 / 355

 

Bölüm Kalan

Örnek 4 :

13542 8888

Þ 1 / 3542 , 10000 – 8888 = 1112

1 / 3542 , 1 x 1112 = 1112

1 / 3542

+ 1112

1 / 4654

 

Bölüm Kalan

Örnek 5 :

15342 7998

Þ 1 / 5342 , 10000 – 7998 = 2002

1 / 5342 , 1 x 2002 = 2002

1 / 5342

+ 2002

1 / 7344

 

Bölüm Kalan

Örnek 6 :

11302 8899

Þ 1 / 1302 , 10000 – 8899 = 1101

1 / 1302 , 1 x 1101 = 1101

1 / 1302

+ 1101

1 / 2403

 

Bölüm Kalan

Örnek 7 :

1032123 899999

Þ 1 / 032123 , 1000000 – 899999 = 100001

1 / 032123 , 1 x 100001 = 100001

1 / 032123

+ 100001

1 / 132124

 

Bölüm Kalan

Buraya kadar yaptığımız örneklerde bölenin basamak sayısı bölünenin basamak sayısından bir eksikti. Farkı biraz daha açarsak ;

Örnek 8 :

1221 89

Þ 12 / 21 , 100 – 89 = 11

12/ 21 , 1 x 11 = 11

12 / 21

1 1

2 + 1 = 3 , 3 x 11 = 33

12 / 21

1 1

33

+

13 / 64

 

Bölüm Kalan

Örnek 9 :

10031 88

Þ 100 / 31 , 100 – 88 = 12

100 / 31 , 1 x 12 = 12

100 / 31

12

0 + 1 = 1 , 1 x 12 = 12

100 / 31

12

1 2 0 + 2 + 1 = 3 , 3 x 12 = 36

100 / 31

12

1 2

+ 36

113 / 87

 

Bölüm Kalan

Örnek 10 :

11234 888

Þ 11 / 234 , 1000 – 888 = 112

11 / 234 , 1 x 112 = 112

11 / 234

1 12

1 + 1 = 2 , 2 x 112 = 224

11 / 234

1 12

224

+

12 / 578

 

Bölüm Kalan

Örnek 11 :

210011 8998

Þ 21 / 0011 , 10000 – 8998 = 1002

21 / 0011 , 2 x 1002 = 2004

21 / 0011

2 004

1 + 2 = 3 , 3 x 1002 = 3006

21 / 0011

2 004

3006

+

23 / 3057

 

Bölüm Kalan

Örnek 12 :

101010 8888

Þ 10 / 1010 , 10000 – 8888 = 1112

10 / 1010 , 1 x 1112 = 1112

10 / 1010

1 112

0 + 1 = 1 , 1 x 1112 = 1112

10 / 1010

1 112

1112

+

11 / 3242

 

Bölüm Kalan

Örnek 13 :

11111271 99979

Þ 111 / 11271 , 100000 – 99979 = 00021

111 / 11271 , 1 x 00021 = 00021

111 / 11271

00 021

0 + 1 = 1 , 1 x 00021 = 00021

111 / 11271

00 021

0 0021

1 + 0 + 0 = 1 , 1 x 00021 = 00021

111 / 11271

00 021

0 0021

+ 00021

111 / 13602

 

Bölüm Kalan

Örnek 14 :

11014 88

Þ 110 / 14 , 100 – 88 = 12

110 / 14 , 1 x 12 = 12

110 / 14

12

1 + 1 = 2 , 2 x 12 = 24

110 / 14

12

2 4

0 + 2 + 2 = 4 , 4 x 12 = 48

110 / 14

12

2 4

48

+

124 / 102

Bu durumda kalan bölümden büyük olduğu için, kalanı 88’e bölüp, bölümü sol tarafa ekleyip, kalanı yazacağız.

102 ¸ 88 ( Bölüm 1, kalan 14 olur. )

Bölümü sol tarafa eklersek, 124 + 1 = 125, kalan ise 14 olur.

Yaklaşım 2 :

Bölen 1 ile başlıyorsa:

Örnek 1 :

1225 12

= ?

1. Bölenin soldaki ilk basamağı hariç diğer kısımlarını başına ( – ) yazıp bölenin altına yazın

12

-2

 

2. Bölüneni sağ tarafa yazın. Son kısmını kalan için ayırın.( Kalan için ayrılan kısmın basamak sayısı, bölenin basamak sayısının bir eksiğidir. )

12 1 2 2 5

-2

 

3. Bölünenin birinci basamağını olduğu gibi aşağıya indirin. Bu rakamı bölenin altına yazdığımız sayı ( -2 ) ile çarpıp, bölünenin diğer basamağının altına yazın ve toplayın.

1 x ( -2 ) = -2

12 1 2 2 5

-2 -2

1 0

4. Bir önceki toplamı tekrar bölenin altına yazdığımız sayıyla çarpıp, bu işlemi son basamağa kadar uygulayın.

0 x ( -2 ) = 0

12 1 2 2 5

-2 0

1 0 2

2 x ( -2 ) = -4

12 1 2 2 5

-2 -4

1 0 2 1

Bölüm Kalan

Örnek 2 :

1896 11

= ?

11

-1

 

11 1 8 9 6

-1

1

1 x (-1) = -1

11 1 8 9 6

-1 -1

1 7

7 x (-1) = -7

11 1 8 9 6

-1 -7

1 7 2

2 x (-1) = -2

11 1 8 9 6

-1 -2

1 7 2 4

Bölüm Kalan

Bölenin basamak sayısını biraz daha arttıralım.

Örnek 3 :

1264 111

= ?

Burada bölenin altında iki rakam var. O yüzden daha önce yaptığımız işlemleri iki basamağa da uygulayacağız.

1 1 1

-1-1

 

1 1 1 1 2 6 4

-1-1

1

1 x (–1) = -1

1 x (-1) = -1

1 1 1 1 2 6 4

-1-1 -1-1

1 1 5

1 x ( -1) = -1

1 x ( -1) = -1

Bir basamak sağa kayarak, bu çarpımları yazalım.

1 1 1 1 2 6 4

-1-1 -1 -1

-1-1

1 1 4 3

 

Bölüm Kalan

Bundan sonraki örneklerde tüm işlemler tek bir basamakta yapılacaktır.

Örnek 4 :

1489 113

= ?

1 1 3

-1-3

 

1 1 3 1 4 8 9

-1-3 -1 -3

-3-9

1 3 2 0

Bölüm Kalan

Örnek 5 :

2573 121

= ?

1 2 1

-2-1

 

1 2 1 2 5 7 3

-2-1 -4 -2

-2-1

2 1 3 2

Bölüm Kalan

Örnek 6 :

1696 140

= ?

1 4 0

-4 0

 

1 4 0 1 6 9 6

-4 0 -4 0

-8 0

1 2 1 6

Bölüm Kalan

Örnek 7:

12354 1112

= ?

1 1 1 2

-1 -1 -2

 

1 1 1 2 1 2 3 5 4

-1-1-2 -1 -1-2

-1-1-2

1 1 1 2 2

 

Bölüm Kalan

Örnek 8:

68987 1111

= ?

1 1 1 1

-1 -1 -1

 

1 1 1 1 6 8 9 8 7

-1-1-1 -6 -6-6

-2-2-2

6 2 1 0 5

 

Bölüm Kalan

Örnek 9:

146878 1111

= ?

1 1 1 1

-1 -1 -1

 

1 1 1 1 1 4 6 8 7 8

-1-1-1 -1-1 -1

-3 -3-3

-2-2-2

1 3 2 2 2 6

 

Bölüm Kalan

Örnek 10 :

12435 1122

= ?

1 1 2 2

-1 -2 -2

 

1 1 2 2 1 2 4 3 5

-1-2-2 -1 -2-2

-1-2-2

1 1 1-1 3

 

Bölüm Kalan

Kalanın ifadesini düzeltmemiz gerekiyor. Kalan kısmındaki sayıların basamak değerlerini yazarsak,

1, 100’ler basamağında olduğu için 1 x 100 = 100

-1, 10’lar basamağında olduğu için – x 10 = -10

3, 1’ler basamağında olduğu için 3 x 1 = 1 seklinde yazarız.

Hepsini toplarsak, 100 + (-10) +3 = 93 elde ederiz. O halde kalan 93’tür.

Örnek 11:

12068 123

= ?

1 2 3

-2 -3

 

1 2 3 1 2 0 6 8

-2-3 -2-3

0 0

6 9

1 0-3 12 17

 

1×100+0x10+(-3)x1=97 12×10+17×1 = 137.

137, 123’ten büyük olduğu için tekrar 123’e bölersek,

123 1 3 7

-2-3 -2-3

1 / 1 4

O halde bölüm, 97 + 1 =98 (137’nin, 123’e bölümünden elde edilen bölümü ekledik.)

kalan ise 14 olur. (137’nin, 123’e bölümünden elde edilen kalan )

Buraya kadar yapılan işlemlerde bölenin ilk rakamı 1’di. Bölenin ilk rakamı 1 değilse ne yapacağız? Bu durumda bölenin ifadesini değiştireceğiz. Aşağıdaki örnekleri dikkatlice takip edin.

Örnek :

Bölen 89 ise, kendisine yakın ve başlangıç rakamı 1 olan 100 ile bu sayıyı ifade etmeye çalışacağız.

100 – 100 – 1 = 89.

Bu işlem ise herbir sayı bulunduğu basamağı göstermek üzere 1 –1 –1 şeklinde ifade edilip daha önce kullandığımız mantıkla bölme işlemini yapacağız.

Bölen 96 ise 100 – 4 = 96 à1 0 –4

Bölen 983 ise 1000 –20 + 3 = 983 à 1 0 -2 3

Bölen 9991 ise 10000 –10 + 1 = 9991 à 1 0 0 -1 -1

şeklinde göstereceğiz.

Örnek 1:

106 89

= ?

89 = 100 – 10 – 1 à 1 -1 -1 şeklinde ifade ederiz.

1 -1 -1

1 1

 

1 -1 -1 1 0 6

1 1 1 1

1 1 7

Bölüm Kalan

Örnek 2 :

49999 8821

= ?

8821 = 10000 – 1000 – 200 + 20 + 1 à 1 -1 -2 2 1 şeklinde ifade ederiz.

1 -1 -2 2 1

1 2 -2 -1

 

1 -1 -2 2 1 4 9 9 9 9

1 2 -2 -1 4 8 -8 -4

 

4 13 17 1 5

Bölüm Kalan

Kalan kısmındaki sayıyı düzenlersek, 13×1000+17×100+1×10+5×1= 14715 olur. 14715, bölümden (8821) büyük olduğu için kalanı tekrar 8821’e bölüp, bölümü , 4’e ekleyip, kalanı aynen alırız.

1 -1 -2 2 1 1 4 7 1 5

1 2 -2 -1 1 2 -2 -1

 

1 5 9 -1 4 ( Kalanı düzenlersek, 5000+900-10+4=5894 )

Bölüm Kalan

Sonuç olarak bölüm, 4 + 1 = 5, kalan 5894’tür.

Örnek 3 :

3012 811

= ?

811 = 1000 – 200 + 10 + 1 à 1 -2 1 1 şeklinde ifade ederiz.

1 -2 1 1

2 -1 -1

1 -2 -1 1 3 0 1 2

2 -1 -1 6 -3 -3

3 6 -2 -1 ( Kalanı düzenlersek, 600-200-1 = 579 )

Bölüm Kalan

Örnek 4 :

40007 899

= ?

899 = 1000 – 100 –1 à 1 -1 0 -1 şeklinde ifade ederiz.

1 -1 0 -1

1 0 1

 

1 -1 0 -1 4 0 0 0 7

1 0 1 4 0 4

4 0 4

4 4 4 4 11 ( Kalanı düzenlersek, 400+40+11 = 451 )

Bölüm Kalan

Örnek 5 :

128347 89981

= ?

89981 = 100000 – 10000 – 20 + 1 à 1 -1 0 0 -2 1 şeklinde ifade ederiz.

1 -1 0 0 -2 1

1 0 0 2 -1

 

1 -1 0 0 -2 1 1 2 8 3 4 7

1 0 0 2 -1 1 0 0 2 -1

 

1 3 8 3 6 6

Bölüm Kalan

Yaklaşım 3: Örnekleri dikkatlice inceleyin.

Örnek 1:

15624 63

Yukarıdaki bölümde yeni yaklaşımı kullanalım. Bölen, bölünenin önüne, birler basamağı üste gelecek şekilde yazılır. Bölünen sayının son basamağı kalan için ayrılır.( Kalan için ayrılan basamak sayısı bölenin basamak sayısından bir azdır.) Bu durumda bölme işlemimizi aşağıdaki gibi düzenleyelim.

3 1 5 6 2 4

6

 

Daha sonra bölünen sayının sol başından (1) başlanılarak, bölen ifadesinde altta kalan sayıya (6) bölünür. Bu durumda 1,6’dan küçük olduğu için bölünen sayıda 1’in yanındaki rakam (5) da alınarak 6’ya bölünür. Bu bölme işleminde bölüm yatay çizginin altına, kalan ise bölünen sayıdaki bir sonraki sayının yanına yazılır.

3 1 5 36 2 4

6

2

15 6

12 2

3

Yukarıdaki işlemde kalanın önüne yazılmasıyla elde ettiğimiz sayıdan (36), bölen ifadesindeki üstteki sayı ile bir önceki işlemdeki bölüm (yatay çizginin altına yazdığımız sayı ) çarpımı, çıkarılıp, tekrar bölen ifadesinin altındaki sayıya bölünür.

36 – ( 3 x 2 ) = 30

Bölme işlemi sonucunda elde ettiğimiz bölüm, çizginin altına, kalan, bölünendeki bir sonraki sayının önüne yazılır.

3 1 5 0 02 4

6

2 5

30 6

30 5

0

Elde ettiğimiz sayıdan tekrar bölen ifadesindeki üstteki sayı ile bir önceki işlemdeki bölüm (yatay çizginin altına yazdığımız sayı ) çarpımı, çıkarılıp, tekrar bölen ifadesinin altındaki sayıya bölünür.

02 – ( 3 x 5 ) = -13 . sonuç negatif çıktığı için bir önceki bölme işleminde, bölüm bir azaltılır. Bu durumda üstteki bölme işlemini tekrar düzenlememiz gerekiyor.

3 1 5 0 62 4

6

2 4

30 6

24 4

6

Bu durumda

62 – (3 x 4 ) = 50 olur.

50, bölenin ifadesinde alttaki sayıya (6) bölünüp, bölüm, çizginin altına, kalan, bir sonraki sayının önüne yazılır.Bu işlemler bölünen sayının son basamağına kadar aynı mantıkla yapılır.

3 1 5 0 2 24

6

2 4 8

50 6

48 8

2

24 – ( 3 x 8 ) = 0

O halde kalan 0’dır.

3 1 5 6 2 4

6

2 4 8 0

 

Bölüm Kalan

Bu yaklaşımı kullandıkça bölme işleminin zihinden kolaylıkla yapılabileceğini göreceksiniz. Bundan sonraki örneklerde ara basamakları tek tek gösterilmeyecektir. Sadece işlemleri alt tarafta gösterilecektir.

Örnek 2:

529 24

= ?

4 5 12 9

2

2 2 1

Bölüm Kalan

5 2

4 2

1

12 – (2 x 4 ) = 4

4 2

4 2

0

9 – ( 2 x 4 ) = 1

Örnek 3:

5638 94

= ?

4 5 6 113 128

9

5 9 9 2

 

Bölüm Kalan

Bir sonraki çıkarma işleminin sonucunun pozitif çıkması için bölümün değerini bir küçük aldık.

56 9

54 5

11

113 – (4 x 5 ) = 93

Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan biri de bölümün en fazla 9 alınmasıdır.

93 9

81 9

12

128 – ( 4 x 9 ) = 92

Örnek 4:

801234 96

= ?

6 8 0 81 62 83 54

9

8 3 4 6 1 8

 

Bölüm Kalan

80 9

72 8

8

81 – (6 x 8 ) = 33

33 9

27 3

6

62 – ( 6 x 3 ) = 44

44 9

36 4

8

83 – (6 x 4 ) = 59

59 9

54 6

6

54 – ( 6 x 6 ) = 18

Örnek 5:

876423 46

= ?

6 8 47 56 24 42 43

4

1 9 0 5 2 3 1

 

Bölüm Kalan

8 4

4 1

4

47 – (6 x 1 ) = 41

41 4

36 9

5

56 – ( 6 x 9 ) = 2

2 4

0 0

2

24 – (6 x 0 ) = 24

24 4

20 5

4

42 – ( 6 x 5 ) = 12

12 4

8 2

4

43 – (6 x 2 ) = 31

Örnek 6:

99999 36

= ?

6 9 39 69 69 69

3

2 7 7 7 2 7

 

Bölüm Kalan

9 3

6 2

3

39 – (6 x 2 ) = 27

27 3

21 7

6

69 – ( 6 x 7 ) = 27

27 3

21 7

6

69 – (6 x 7 ) = 27

27 3

21 7

6

69 – ( 6 x 7 ) = 27

Bundan sonraki örneklerde kalanı da işleme sokalım. Bölünen sayının sonuna virgül koyup istediğimiz kadar 0 yazabiliriz.

Örnek 7:

324 44

= ?

4 3 2 44, 40 40 40

4

7, 3 6 3

 

Bölüm

32 4

28 7

4

44 – (4 x 7 ) = 16

16 4

12 3

4

40 – ( 4 x 3 ) = 28

28 4

24 6

4

40 – (4 x 6 ) = 16

16 4

12 3

4

Örnek 8:

8426 87

= ?

7 8 4 122 116, 100 40 50 100

8

9 6, 8 5 0 5

 

Bölüm

84 8

72 9

12

122 – (7 x 9 ) = 59

59 8

48 6

11

116 – ( 7 x 6 ) = 74

74 8

64 8

10

100 – (7 x 8 ) = 44

44 8

40 5

4

40 – (7 x 5 ) = 5

5 8

0 0

5

50 – ( 7 x 0 ) = 50

50 8

40 5

10

Örnek 9:

6,4 74

= ?

Bölünen sayı, bölenden küçük olduğu için, bölüm 0, ile başlar.

 

4 6, 64 80 60 80

7

0, 0 8 6 4

 

Bölüm

6 7

0 0

6

64 – (4 x 0 ) = 64

64 7

56 8

8

80 – ( 4 x 8 ) = 48

48 7

42 6

6

60 – (4 x 6 ) = 36

36 7

28 4

8

Örnek 10:

62 76

= ?

6 6 2, 60 50 90 110

7

0, 8 1 5 7

 

Bölüm

62 7

56 8

6

60 – (6 x 8 ) = 12

12 7

7 1

5

50 – ( 6 x 1 ) = 44

44 7

35 5

9

90 – (6 x 5 ) = 60

60 7

49 7

11

Örnek 11:

1023432 721

= ?

1 1 0 2 303 144 683 342, 450 140 620

72

1 4 1 9, 4 6 1

 

Bölüm

102 72

72 1

30

303 – (1 x 1 ) = 302

302 72

288 4

14

144 – ( 1 x 4 ) = 140

140 72

72 1

68

683 – (1 x 1 ) = 682

682 72

648 9

34

342 – (1 x 9 ) = 333

333 72

288 4

45

450 – ( 1 x 4 ) = 446

446 72

432 6

14

140 – (1 x 6 ) = 134

134 72

72 1

62

Örnek 12:

Yukarıdaki örneği, böleni

21

7

şeklinde ifade ederek te bulabilirdik. Ancak bu durumda çıkarılacak sayıyı farklı bir yöntemle bulacağız. Çıkarılacak sayı, bölümde geldiğimiz kısmın son iki basamağı ile bölenin ifadesinde üstteki sayının çapraz çarpımı ile bulunur. Şimdi örneği basamak basamak izleyin.

Bölenin ifadesinde üstteki sayı iki basamaklı olduğu için, kalan için bölünenin son iki basamağı ayrılır.

21 1 0 2 3 4 3 2, 0 0

7

10 7

7 1

3

 

21 1 0 32 3 4 3 2, 0 0

7

1

Bölümün son iki basamağı 01’dir. ( Tek basamaklı olduğu için başına 0 yazılmıştır. ) 21 ile çapraz çarpımını, 32’den çıkaralım.

01

21

 

0x1+1×2 =2

32 – 2 = 30

30 7

28 4

2

21 1 0 2 23 4 3 2, 0 0

7

1 4

Bölümün son iki basamağı 14’tür. 14’ün, 21 ile çapraz çarpımını, 23’ten çıkaralım.

14

21

 

1×1+4×2 =9

23 – 9 = 14

14 7

7 1

7

21 1 0 2 3 74 3 2, 0 0

7

1 4 1

Bölümün son iki basamağı 41’dir. 41’in, 21 ile çapraz çarpımını, 74’ten çıkaralım.

41

21

 

4×1+1×2 =6

74 – 6 = 68

68 7

63 9

5

21 1 0 2 3 4 53 2, 0 0

7

1 4 1 9

Bölümün son iki basamağı 19’dur. 19’un, 21 ile çapraz çarpımını, 53’ten çıkaralım.

19

21

 

1×1+9×2 =19

53 – 19 = 34

34 7

28 4

6

21 1 0 2 3 4 3 62, 0 0

7

1 4 1 9, 4

Bölümün son iki basamağı 94’tür. 94’ün, 21 ile çapraz çarpımını, 62’den çıkaralım.

94

21

 

9×1+4×2 =17

62 – 17 = 45

45 7

42 6

3

21 1 0 2 3 4 3 2, 30 0

7

1 4 1 9, 4 6

Bölümün son iki basamağı 46’dır. 46’nın, 21 ile çapraz çarpımını, 30’dan çıkaralım.

46

21

 

4×1+6×2 =16

30 – 16 = 14

14 7

7 1

7

21 1 0 2 3 4 3 2, 0 70

7

1 4 1 9, 4 6 1

Şimdiye kadar yaptığımız işlemleri tek bir çizelgede toplayalım.

21 1 0 32 23 74 53 62, 30 70

7

1 4 1 9, 4 6 1

 

Bölüm

Örnek 13:

333322 324

= ?

24 3 03 13 33 52 72, 50 50

3

1 0 2 8, 7 7 1

 

Bölüm

3 3

3 1

0

01

24

 

0x4+1×2 =2

3 – 2 = 1

1 3

0 0

1

10

24

 

1×4+0x2 =4

13 – 4 = 9

9 3

6 2

3

02

24

 

0x4+2×2 =4

33 – 4 = 29

29 3

24 8

5

28

24

 

2×4+8×2 =24

52 – 24 = 28

28 3

21 7

7

87

24

 

8×4+7×2 = 46

72 – 46 = 26

26 3

21 7

5

77

24

 

7×4+7×2 =42

50 – 42 = 8

8 3

3 1

5

Örnek 14 :

Bölen üç basamaklı olduğunda kalan nasıl bulunur? Örneği inceleyin.

2692615 623

= ?

Öncelikle bölünen sayıda kalan için ayırdığımız kısma gelinceye kadar yukarıdaki yaklaşımı kullanalım.

23 2 6 29 32 26 11 5

6

4 3 2 2

 

Bölüm

26 6

24 4

2

04

23

 

0x3+4×2 =8

29 – 8 = 21

21 6

18 3

3

43

23

 

4×3+3×2 =18

32 – 18 = 14

14 6

12 2

2

32

23

 

3×3+2×2 =13

26 – 13 = 13

13 6

12 2

1

Kalanı bulmak için izlecek yol :

Bölenin ifadesinin üstündeki sayı ile bölümün son iki rakamının çapraz çarpımı, 10 ile çarpılır. Bölenin ifadesinin üstündeki sayının son rakamı ile bölümün son rakamının çarpımı bir önceki işlemin sonucuyla toplanıp, bölünen sayının kalan için ayrılan kısmından ( önündeki sayı dahil ) çıkarılırak kalan bulunur.

23 2 6 29 32 26 11 5

6

4 3 2 2

Bölenin ifadesinin üstündeki sayı ile bölümün son iki rakamının çapraz çarpımı,

23

22

2×2+3×2 = 10’dur.

10 ile çarparsak,

10×10 = 100’dür.

Bölenin ifadesinin üstündeki sayının son rakamı ile bölümün son rakamının çarpımı

23 2 6 29 32 26 11 5

6

4 3 2 2

3 x 2 = 6’dır.

100 + 6 = 106

Bölünen sayının kalan için ayrılan kısmı, 115’tir.

 

23 2 6 29 32 26 11 5

6

4 3 2 2

Bu durumda kalan,

115 – 106 = 9’dur.

Örnek 15:

639748 827

= ?

27 6 3 79 97 104 8

8

7 7 3

 

Bölüm

63 8

56 7

7

07

27

 

0x7+7×2 =14

79 – 14 = 65

65 8

56 7

9

77

27

 

7×7+7×2 =63

97 – 63 = 34

34 8

24 3

10

Kalanı bulalım.

73

27

7×7+3×2 = 55

55×10 = 550

7 x 3 = 21

550 + 21 = 571

1048 – 571 = 477

Kalan 477’dir.

Örnek16:

8926 1214

= ?

14 8 9 52 6

12

7

 

Bölüm

89 12

84 7

5

Kalanı bulalım.

14

07

1×7+4×0 = 7

7×10 = 70

4 x 7 = 28

70 + 28 = 98

526 – 98 = 428

Kalan 428’dir.

Örnek 17:

32825 1026

= ?

26 3 2 28 122 5

10

3 1

 

Bölüm

32 10

30 3

2

03

26

 

0x6+3×2 =6

28 – 6 = 22

22 10

10 1

12

Kalanı bulalım.

31

26

3×6+1×2 =20

20×10 = 200

6 x 1 = 6

200 + 6 = 206

1225 – 206 = 1019

Kalan 1019’dur.

Örnek 18:

136890 1235

= ?

35 1 3 16 18 109 0

12

1 1 0

 

Bölüm

13 12

12 1

1

01

35

 

0x5+1×3 = 3

16 – 3 = 13

13 12

12 1

1

11

35

 

1×5+1×3 =8

18 – 8 = 10

10 12

0 0

10

Kalanı bulalım.

35

10

3×0+5×1 = 5

5×10 = 50

5 x 0 = 0

50 + 0 = 50

1090 – 50 = 1040

Kalan 1040’tır.

Örnek 19:

184924 2121

= ?

21 1 8 4 169 62 4

21

8 7

 

Bölüm

184 21

168 8

16

08

21

 

0x1+8×2 = 16

169 – 16 = 153

153 21

147 7

6

Kalanı bulalım.

87

21

8×1+7×2 = 22

22×10 = 220

1 x 7 = 7

220 + 7 = 227

624 – 227 = 397

Kalan 397’dir.

Örnek 20:

426584 3612

= ?

12 4 2 66 295 48 4

36

1 1 8

 

Bölüm

42 36

36 1

6

01

12

 

0x2+1×1 = 1

66 – 1 = 65

65 36

36 1

29

11

12

 

1×2+1×1 = 3

295 – 3 = 292

292 36

288 8

4

Kalanı bulalım.

18

12

1×2+8×1 = 10

10×10 = 100

8 x 2 = 16

100 + 16 = 116

484 – 116 = 368

Kalan 368’dir.

 

 

hazırlayan: adem özbay

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz
Lütfen adınızı yazınız