Dünyadaki en mâsum uğraş matematiktir.
G. H. HARDY
İlk yaklaşımımızda ( x+y )2 = x2 + 2xy + y2 özdeşliğini kullanacağız.
Buradan anlaşılıyorki: bir toplamın karesini bulmak için, birinci sayının karesini, birinci sayı ile ikinci sayının çarpımının iki katını ve ikinci sayının karesini toplarız. Şimdi bunu bir sayının karesini bulmak için nasıl kullanacağımızı örneklerle anlatmaya çalışacağım.
Örnek :
212 = ?
( / ) işareti sonucu kısımlara ayırsın. Sonucun birler basamağındaki rakamı, toplamın ikinci sayısının karesinin birler basamağı, onlar basamağındaki rakamı, toplanan sayıların çarpımının iki katı ve bir önceki işlem sonucundaki sonucun onlar basamağı toplamının birler basamağı belirler. Verilen ifadeyi yeni duruma uyarlarsak;
(xy)2 à( x / y )2 = x2 / 2xy / y2 ( Kısacası, sağ taraftaki iki kısmın birler basamağını, sol kısımdaki ifadenin ise tamamını kullanacağız.)
212 à ( 2 / 1 )2 =22 / 2 x 2 x 1 / 12
4 / 4 / 1
O halde 212 = 441’dir.
Örnek :
432 = ?
(43) 2 à ( 4 / 3 ) 2
42 / 2 x 4 x 3 / 32 ( Son iki kısım rakam ifade edecekti. Bu yüzden birler basamağı dışındaki kısımlar bir soldaki sayıya elde olarak ilave edilecek. )
16 / 24 / 9
16+2 / 4 / 9
18 / 4 / 9
O halde 432 = 1849’dur.
Örnek :
842 = ?
(84) 2 à ( 8 / 4 ) 2
82 / 2 x 8 x 4 / 42
64 / 64 / 16
64 / 64 +1 / 6
64 / 65 / 6
64 +6 / 5 / 6
70 / 5 / 6
O halde 842 = 7056
Örnek :
1232 = ?
(123) 2 à ( 12 / 3 ) 2
122 / 2 x 12 x 3 / 32
144 / 72 / 9
 |
144 + 7 / 2 / 9
151 / 2 / 9
O halde 1232 = 15129’dur.
Örnek :
4522 = ?
(452)2 à ( 45 / 2 ) 2
452 / 2 x 45 x 2 / 22
2025 / 180 / 4
2025+18 / 0 / 4
2043 / 0 / 4
O halde 4522 = 204304’tür.
Sayı büyüdükçe işlemleri yapmak biraz zaman alıyor. Çarpma konusunda anlattığımız taban kavramı bu durumda yardımımıza yetişiyor.
Sayı 10’un kuvvetlerine yakın ve 10’un kuvvetlerinden küçükse:
Örnek 1:
82 = ? ( Taban 10 )
Verilen sayının tabandan farkı (sapma), 8 –10 = -2’dir. Bulduğumuz sayının karesini alalım. (-2) 2 = 4 (son kısım)
Verilen sayı ile sapmayı toplayalım. 8 + (-2) = 6 (ilk kısım )
O halde 82 = 64’tür.
Örnek 2:
92 = ? ( Taban 10 )
9 – 10 = -1
( -1) 2 = 1 ( son kısım )
9 + ( -1) = 8 ( ilk kısım )
O halde 92 =81’dir.
Örnek 3:
972 = ? ( Taban 100 )
97 – 100 = -3
(-3) 2 = 9 , tabanda iki sıfır olduğu için, 09 ( son kısım )
97 + ( -3 ) = 94 ( ilk kısım )
O halde 972 = 9409’dur.
Örnek 4 :
9962 = ? ( Taban 1000 )
996 – 1000 = -4
(-4) 2 = 16, tabanda üç sıfır olduğu için, 016 (son kısım )
996 + (-4 ) = 992 ( ilk kısım )
9962 = 992016’dır.
Örnek 5 :
99972 = ? ( Taban 10000 )
9997 –10000 = -3
(-3) 2 = 9, tabanda dört sıfır olduğu için, 0009 ( son kısım )
9997 + (-3 ) = 9994 ( ilk kısım )
99972 = 99940009’dur.
Örnek 6 :
892 = ? ( Taban 100 )
89 – 100 = -11
(-11) 2 = 121, tabanda iki sıfır olduğu için 121’in sağ baştan iki basamağını alıp diğer kısmı bir sonraki işleme ekleyeceğiz.
1 (bir sonraki işleme eklenecek ) 21 (son kısım)
89 + (-11) = 78, bir önceki işlemdeki elde 1’i de ilave edersek, 78 + 1 = 79 ( ilk kısım )
O halde 892 = 7921’dir.
Sayı 10’un kuvvetlerine yakın ve 10’un kuvvetlerinden büyükse:
Örnek 1:
142 = ? ( Taban 10 )
Burada sayının tabandan farkını, sayıya ekleyeceğiz.( Diğer kısımlar, 1. Durumla aynı )
14 – 10 = 4
42 = 16, tabanda bir sıfır olduğu için 16’nın sağ baştan bir basamağını alıp, diğer kısmı bir sonraki işleme ilave edeceğiz.
1 (bir sonraki işleme eklenecek ), 6 (son kısım)
14 + 4 = 18
18 + 1 = 19 ( ilk kısım )
O halde 142 z.
Örnek 2:
1132 = ? ( Taban 100 )
113 – 100 = 13
132 =169 tabanda iki sıfır olduğu için
1 ( bir sonraki işleme eklenecek), 69 ( son kısım )
113 + 13 = 126
126 + 1 = 127 ( ilk kısım )
O halde 1132 = 12769’dur.
Örnek 3:
100142 = ? ( Taban 10000 )
10014 – 10000 = 14
142 = 196, tabanda dört sıfır olduğu için, 0196 (son kısım )
10014 + 14 = 10028 ( ilk kısım )
O halde 100142 = 100280196’dır.
Sayı çarpma konusunda anlattığımız gibi 10’un kuvvetlerinin katları şeklinde yazılabiliyorsa :
Örnek 1 :
322 = ? ( Taban 3 x 10 )
30 – 32 = (-2)
(-2)2 = 4 ( son kısım )
32 + 2 = 34
34 x 3 = 102 ( ilk kısım )
O halde 322 = 1024’tür.
Örnek 2 :
3882 = ? ( Taban 4 x 100 )
388 – 400 = (-12)
(-12)2 = 144 à 1( bir sonraki işleme eklenecek. ) 44 ( son kısım )
388 – 12 = 376
376 x 4 = 1504
1504 + 1 = 1505 ( ilk kısım )
O halde 3882 = 150544’tür.
Örnek 3:
4912 = ? ( Taban 5 x 100 )
491 – 500 = (-9)
(-9)2 = 81, tabanda iki sıfır olduğu için, 81 ( son kısım )
491 – 9 = 482
482 x 5 = 2410 ( ilk kısım )
O halde 4912 = 241081’dir.
Örnek 4:
672 = ? ( Taban 7 x 10 )
67 – 70 = (-3)
(-3)2 = 9 ,tabanda bir sıfır olduğu için, 9 ( son kısım )
67 – 3 = 64
64 x 7 = 448 ( ilk kısım )
O halde 672 = 4489 ‘dur.
Örnek 5:
4122 = ? ( Taban 4 x 100 )
412 – 400 = 12
122 = 144 ( son kısım 44, elde1 )
412 + 12 = 424
424 x 4 = 1696
1696 + 1 = 1697 ( ilk kısım )
O halde 4122 = 169744’tür.
Örnek 6:
50092 = ? ( Taban 5 x 1000 )
5009 – 5000 = 9
92 = 81, tabanda üç sıfır olduğu için, 081 ( son kısım )
5009 + 9 = 5018
5018 x 5 = 25090 ( ilk kısım )
O halde 50092 = 25090081’dir.
Örnek 7:
10000122 = ? ( Taban 1000000)
1000012 – 1000000 = 12
122 = 144, tabanda altı sıfır olduğu için, 000144 ( son kısım )
1000012 + 12 = 1000024 ( ilk kısım )
O halde 10000122 = 1000024000144’tür.
5 ile biten sayıların karesi :
Sonucun ilk kısmını bulmak için verilen sayının birler basamağı dışında kalan kısım bir fazlasıyla çarpılır. Son kısım ise her zaman 25’tir.
Örnek 1 :
152 = ?
15’in birler basamağı dışında kalan kısmı 1’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
1 x ( 1 + 1 ) = 2 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 15 2 = 225’tir.
Örnek 2:
252 = ?
25’in birler basamağı dışında kalan kısmı 2’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
2 x ( 2 + 1 ) = 6 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 252 = 625’tir.
Örnek 3 :
352 = ?
35’in birler basamağı dışında kalan kısmı 3’tür. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
3 x ( 3 + 1 ) = 12 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 352 = 1225’tir.
Örnek 4 :
452 = ?
45’in birler basamağı dışında kalan kısmı 4’tür. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
4 x ( 4 + 1 ) = 20 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 452 = 2025’tir.
Örnek 5 :
652 = ?
65’in birler basamağı dışında kalan kısmı 6’dır. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
6 x ( 6 + 1 ) = 42 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 652 = 4225’tir.
Örnek 6 :
952 = ?
95’in birler basamağı dışında kalan kısmı 9’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
9 x ( 9 + 1 ) = 90 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 952 = 9025’tir.
Örnek 7 :
1052 = ?
105’in birler basamağı dışında kalan kısmı 10’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
10 x ( 10 + 1 ) = 110 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 1052 = 11025’tir.
Örnek 8 :
1252 = ?
125’in birler basamağı dışında kalan kısmı 12’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
12 x ( 12 + 1 ) = 156 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 1252 = 15625’tir.
Örnek 9 :
1652 = ?
165’in birler basamağı dışında kalan kısmı 16’dır. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
16 x ( 16 + 1 ) = 272 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 1652 = 27225’tir.
Örnek 10 :
2052 = ?
205’in birler basamağı dışında kalan kısmı 20’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
20 x ( 20 + 1 ) = 420 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 2052 = 42025’tir.
Örnek 11 :
9952 = ?
995’in birler basamağı dışında kalan kısmı 99’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
99 x ( 99 + 1 ) = 9900 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 9952 = 990025’tir.
Örnek 12 :
99952 = ?
9995’in birler basamağı dışında kalan kısmı 999’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,
999 x ( 999 + 1 ) = 999000 ( ilk kısım )
25 ( son kısım )
O halde 99952 = 99900025’tir.
41ile 59 arasındaki sayıların karesi:
Sonuç iki kısımdan oluşur. İlk kısım, verilen sayıdan 25 çıkarılarak, son kısım ise verilen sayıdan 50 çıkarılıp, karesinin alınıp, iki basamaklı olarak ifade edilmesiyle bulunur.
Örnek :
472 = ?
47 – 25 = 22 ( ilk kısım )
50 – 47 = 3
32 = 9, iki basamaklı ifade edersek, 09 ( son kısım )
O halde 472 = 2209’dur.
Örnek :
542 = ?
54 – 25 = 29 ( ilk kısım )
50 – 54 = (-4)
(-4)2 = 16 ( son kısım )
O halde 542 = 2916’dır.
1 ile başlayan iki basamaklı sayıların karesi :
Verilen sayını birler basamağındaki rakamla, sayıyı toplayın. Verilen sayının bir ler basamağındaki rakamın karesini bir önceki işlemde elde ettğimiz sayının sonuna bir basamaklı olarak ekleyin. ( Sonuç iki basamaklı ise onlar basamağındaki rakamı ilk baştaki işlemin sonuyla toplayın.)
Örnek :
142 = ?
14 + 4 = 18
42 = 16 ( sonuç iki basamaklı olduğu için onlar basamağındaki rakam( 1) bir önceki işlemin sonucuyla toplanır.
18 + 1 =19 ( ilk kısm )
6 ( son kısım )
O halde 142 = 196’dır.
Örnek :
182 = ?
18 + 8 = 26
82 = 64 ( sonuç iki basamaklı olduğu için onlar basamağındaki rakam(6) bir önceki işlemin sonucuyla toplanır.
26 + 6 =32 ( ilk kısm )
4 ( son kısım )
O halde 182 = 324’tür.
5 ile başlayan iki basamaklı sayıların karesi :
Sonucun ilk kısmı, verilen sayının birler basamağındaki rakamın 25 fazlasıdır. Son kısım ise verilen sayının birler basamağındaki rakamın karesidir.
Örnek :
562 = ?
6 + 25 = 31 (ilk kısım )
62 = 36 ( son kısım )
O halde 562 = 3136’dır.
Örnek :
592 = ?
9 + 25 = 34 ( ilk kısım )
92 = 81 ( son kısım )
O halde 592 = 3481’dir.
9 ile başlayan iki basamaklı sayıların karesi :
1. Verilen sayıyı 100’den çıkarın.
2. Verilen sayıdan, 1.işlemin sonucunu çıkarın. Bu sonucun ilk kısmını oluşturur.
3. 1.işlemin sonucunun iki basamaklı hali, işlemin sonucunun son kısmını oluşturur.
Örnek :
942 = ?
1. 100 – 94 = 6
2. 94 – 6 = 88 ( ilk kısım )
3. 62 = 36 ( son kısım )
O halde 942 = 8836’dır.
Örnek :
972 = ?
1. 100 – 97 = 3
2. 97 – 3 = 94 ( ilk kısım )
3. 32 = 9, iki basamaklı ifade edeceğimiz için,09 ( son kısım )
O halde 972 = 9409’dur.
1 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Verilen sayının bir eksiğinin karesini alın.
2. Verilen sayının bir eksiğinin iki katıyla, 1. işlemin sonucunu toplayın.
3. Sonuca bir ekleyin.
Örnek :
412 = ?
41 – 1 = 40
402 = 1600
40 x 2 = 80
1600 + 80 = 1680
1680 + 1 = 1681
O halde 412 = 1681’dir.
Örnek :
812 = ?
81 – 1 = 80
802 = 6400
80 x 2 = 160
6400 + 160 = 6560
6560 + 1 = 6561
O halde 812 = 6561’dir.
2 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Son rakam 4’tür.
2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 4 katı ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )
3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın karesi
Basamakları şekildeki gibi kutularla gösterirsek, herbir kutuya kaç rakam yazılacağını daha rahat görebilirsiniz. Herbir kutuya bir rakam yazılacak ve kutuya ait işlemler gösterilmiştir.
|
|
|
|
4 |
3 2 1
Örnek :
522 = ?
1. Son rakam 4’tür.
|
|
|
|
4 |
2. 5 x 4 = 20 ( 0 yazılacak, 2 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
0 |
4 |
3. 52 = 25, bir önceki işlemden 2 elde, 25 + 2 = 27
|
2 |
7 |
0 |
4 |
O halde 522 = 2704’tür.
Örnek :
722 = ?
1. Son rakam 4’tür.
|
|
|
|
4 |
2. 7 x 4 = 28 ( 8 yazılacak, 2 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
8 |
4 |
3. 72 = 49, bir önceki işlemden 2 elde, 49 + 2 = 51
|
5 |
1 |
8 |
4 |
O halde 722 = 5184’tür.
3 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Son rakam 9’tür.
2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 6 katı ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )
3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın karesi
|
|
|
|
9 |
3 2 1
Örnek :
632 = ?
1. Son rakam 9’dur.
|
|
|
|
9 |
2. 6 x 6 = 36 ( 6 yazılacak, 3 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
6 |
9 |
3. 62 = 36, bir önceki işlemden 3 elde, 36 + 3 = 39
|
3 |
9 |
6 |
9 |
O halde 632 = 3969’dur.
Örnek :
932 = ?
1. Son rakam 9’dur.
|
|
|
|
9 |
2. 9 x 6 = 54 ( 4 yazılacak, 5 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
4 |
9 |
3. 92 = 81, bir önceki işlemden 5 elde, 81 + 5 = 86
|
8 |
6 |
4 |
9 |
O halde 932 = 8649’dur.
4 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Son rakam 6’dır. ( 4’ün karesi 16 olduğu için, 6 yazılır, 1 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )
2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 8 katına bir önceki işlemdeki 1’i ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )
3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın karesini alın.
|
|
|
|
6 |
3 2 1
Örnek :
542 = ?
1. Son rakam 6’dır.
|
|
|
|
6 |
2. 5 x 8 = 40
40 + 1 = 41 ( 1 yazılacak, 4 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
1 |
6 |
3. 52 = 25, bir önceki işlemden 4 elde, 25 + 4 = 29
|
2 |
9 |
1 |
6 |
O halde 542 = 2916’dır.
Örnek :
842 = ?
1. Son rakam 6’dır.
|
|
|
|
6 |
2. 8 x 8 = 64
64 + 1 = 65 ( 5 yazılacak, 6 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
5 |
6 |
3. 82 = 64, bir önceki işlemden 6 elde, 64 + 6 = 70
|
7 |
0 |
5 |
6 |
O halde 842 = 7056’dır.
6 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Son rakam 6’dır. ( 6’ün karesi 36 olduğu için, 6 yazılır, 3 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )
2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 2 katına bir önceki işlemdeki 3’ü ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )
3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.
|
|
|
|
6 |
3 2 1
Örnek :
762 = ?
1. Son rakam 6’dır.
|
|
|
|
6 |
2. 7 x 2 = 14
14 + 3 = 17 ( 7 yazılacak, 1 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
7 |
6 |
3. 7 x ( 7 + 1 ) = 56, bir önceki işlemden 1 elde, 56 + 1 = 57
|
5 |
7 |
7 |
6 |
O halde 762 = 5776’dır.
Örnek :
362 = ?
1. Son rakam 6’dır.
|
|
|
|
6 |
2. 3 x 2 = 6
6 + 3 = 9
|
|
|
9 |
6 |
3. 3 x ( 3 + 1 ) = 12
|
1 |
2 |
9 |
6 |
O halde 362 = 1296’dır.
7 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Son rakam 9’dur. ( 7’ün karesi 49 olduğu için, 9 yazılır, 4 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )
2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 4 katına bir önceki işlemdeki 4’ü ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )
3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.
|
|
|
|
9 |
3 2 1
Örnek :
372 = ?
1. Son rakam 9’dur.
|
|
|
|
9 |
2. 3 x 4 = 12
12 + 4 = 16 ( 6 yazılacak, 1 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
6 |
9 |
3. 3 x ( 3 + 1 ) = 12, bir önceki işlemden 1 elde, 12 + 1 = 13
|
1 |
3 |
6 |
9 |
O halde 372 = 1369’dur.
Örnek :
672 = ?
1. Son rakam 9’dur.
|
|
|
|
9 |
2. 6 x 4 = 24
24 + 4 = 28 ( 8 yazılacak, 2 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
8 |
9 |
3. 6 x ( 6 + 1 ) = 42, bir önceki işlemden 2 elde, 42 + 2 = 44
|
4 |
4 |
8 |
9 |
O halde 672 = 4489’dur.
8 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Son rakam 4’tür. ( 8’ün karesi 64 olduğu için, 4 yazılır, 6 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )
2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 6 katına bir önceki işlemdeki 6’yı ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )
3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.
|
|
|
|
4 |
3 2 1
Örnek :
582 = ?
1. Son rakam 4’tür.
|
|
|
|
4 |
2. 5 x 6 = 30
30 + 6 = 36 ( 6 yazılacak, 3 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
6 |
4 |
3. 5 x ( 5 + 1 ) = 30, bir önceki işlemden 3 elde, 30 + 3 = 33
|
3 |
3 |
6 |
4 |
O halde 582 = 3364’tür.
Örnek :
882 = ?
1. Son rakam 4’tür.
|
|
|
|
4 |
2. 8 x 6 = 48
48 + 6 = 54 ( 4 yazılacak, 5 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
4 |
4 |
3. 8 x ( 8 + 1 ) = 72, bir önceki işlemden 5 elde, 72 + 5 = 77
|
7 |
7 |
4 |
4 |
O halde 882 = 7744’tür.
9 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :
1. Son rakam 1’dir. ( 9’ün karesi 81 olduğu için, 1 yazılır, 8 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )
2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 8 katına bir önceki işlemdeki 8’i ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )
3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.
|
|
|
|
1 |
3 2 1
Örnek :
392 = ?
1. Son rakam 1’dir.
|
|
|
|
1 |
2. 3 x 8 = 24
24 + 8 = 32 ( 2 yazılacak, 3 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
2 |
1 |
3. 3 x ( 3 + 1 ) = 12, bir önceki işlemden 3 elde, 12 + 3 = 15
|
1 |
5 |
2 |
1 |
O halde 392 = 1521’dir.
Örnek :
692 = ?
1. Son rakam 1’dir.
|
|
|
|
1 |
2. 6 x 8 = 48
48 + 8 = 56 ( 6 yazılacak, 5 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )
|
|
|
6 |
1 |
3. 6 x ( 6 + 1 ) = 42, bir önceki işlemden 5 elde, 42 + 5 = 47
|
4 |
7 |
6 |
1 |
O halde 692 = 4761’dir.
3’lerden oluşan sayıların karesi :
1. Basamak sayısının bir eksiği kadar 1
2. 0
3. Basamak sayısının bir eksiği kadar 8
4. 9
yanyana yazılır.
Örnek :
333332 = ?
Basamak sayısı 5‘tir.
O halde 333332=1111088889’dur.
Örnek :
33332 = ?
Basamak sayısı 4’tür.
O halde 333332=11108889’dur.
6’lardan oluşan sayıların karesi
1. Basamak sayısının bir eksiği kadar 4
2. 3
3. Basamak sayısının bir eksiği kadar 5
4. 6
yanyana yazılır.
Örnek :
662 = ?
Basamak sayısı 2’dir.
O halde 662=4356’dır.
Örnek :
66662 = ?
Basamak sayısı 4’tür.
O halde 66662=44435556’dır.
1’ lerden oluşan sayıların karesi
1’ den başlayarak basamak sayısı kadar sayı 1’er 1’er artırılır ve sonra 1’er 1’er düşürülerek 1’e kadar sayılar yanyana yazılır.
Örnek :
1112 = ?
Basamak sayısı 3’tür.
O halde 1112=12321’dir.
Örnek :
111112 = ?
Basamak sayısı 5’dir.
O halde 1112=123454321’dir.
9’lardan oluşan sayıların karesi
1. Basamak sayısının bir eksiği kadar 9
2. 8
3. Basamak sayısının bir eksiği kadar 0
4. 1
yanyana yazılır.
Örnek :
9992 = ?
Basamak sayısı 3’tür.
O halde 9992 = 998001’dir.
Örnek :
999992 = ?
Basamak sayısı 5’tir.
O halde 999992 = 9999800001’dir.
100’lü sayıların karesi
1. Son iki basamak verilen sayının son iki basamağının karesidir.(elde varsa ikinci işleme eklenecek)
2. İlk üç basamak ise sayının kendisiyle son iki basamağın ve 1. işlemdeki eldenin toplamıdır.
|
|
|
|
|
|
 |
 |
2 1
Örnek :
1082 = ?
1. (08) 2 = 64
|
|
|
|
6 |
4 |
2. 108 + 08 = 116
|
1 |
1 |
6 |
6 |
4 |
O halde 1082 = 11664’tür.
Örnek :
1142 = ?
1. 142 = 196 ( 96 yazılacak, 1 elde olarak bir sonraki işleme eklenecek.)
|
|
|
|
9 |
6 |
2. 114 + 14 + 1 = 129
|
1 |
2 |
9 |
9 |
6 |
O halde 1142 = 12996’dır.
500’lü Sayıların Karesi:
Sonuç iki kısımdan oluşur. İlk kısım sayının 250’den çıkarılmasıyla bulunur. Son kısım ise sayının yüzler basamağı (5) dışındaki kısmının karesinin üç basamaklı olarak ifade edilmesiyle bulunur. Bu yapılırken kalan sayının karesi üç basamaktan küçükse, önüne sıfır eklenerek üç basamağa tamamlanır. Kalan sayının karesi üç basamaktan büyükse, yüzler basamağından sonraki basamağı, ilk kısma ilave edilir.
Örnek:
5082 = ?
508 – 250 = 258 ( ilk kısım )
082 = 064 ( üç basamaklı olarak ifadesi )
O halde 5082 = 258064’tür.
Örnek :
5212 = ?
521 – 250 = 271 ( ilk kısım )
212 = 441 ( son kısım )
O halde 5212 = 271441’dir.
Örnek :
5422 = ?
542 – 250 = 292 ( ilk kısım )
422 = 1764 ( 1, ilk kısıma eklenip, son kısım, 764 alınır. )
292 + 1 = 293 ( ilk kısım )
764 ( son kısım )
O halde 5422 = 293764’tür.
Örnek :
5652 = ?
565 – 250 = 315 ( ilk kısım )
652 = 4225 ( 4, ilk kısıma eklenip, son kısım, 225 alınır. )
315 + 4 = 319 ( ilk kısım )
225 ( son kısım )
O halde 5652 = 319225’tir.
1000 ile 1099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 1’dir.
2. Verilen sayıyı 1000’den çıkarıp, iki katını alın.
3. Verilen sayıyı 1000’den çıkarıp, karesini alın.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
10092 = ?
1. İlk kısım 1’dir.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2. 1009 –1000 = 9
9 x 2 = 18 (üç basamak ayrıldığı için 018 )
|
1 |
0 |
1 |
8 |
|
|
|
3. 1009 – 1000 = 9
92 = 81 ( üç basamak ayrıldığı için 081 )
|
1 |
0 |
1 |
8 |
0 |
8 |
1 |
O halde 10092 = 1018081’dir.
Örnek :
10162 = ?
1. İlk kısım 1’dir.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2. 1016 –1000 = 16
16 x 2 = 32 (üç basamak ayrıldığı için 032 )
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
|
|
3. 1016 – 1000 = 16
162 = 256 ( üç basamak ayrıldığı için 256 )
|
1 |
0 |
3 |
2 |
2 |
5 |
6 |
O halde 10162 = 1032256’dır.
2000 ile 2099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 4’tür.
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 4 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
20072 = ?
1. İlk kısım 4’tür.
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2. 07 x 4 = 28 (üç basamak ayrıldığı için 028 )
|
4 |
0 |
2 |
8 |
|
|
|
3. 07 x 07 = 49 ( üç basamak ayrıldığı için 049 )
|
4 |
0 |
2 |
8 |
0 |
4 |
9 |
O halde 20072 = 4028049’dur.
Örnek :
20412 = ?
1. İlk kısım 4’tür.
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2. 41 x 4 = 164
|
4 |
1 |
6 |
4 |
|
|
|
3. 41 x 41 = 1681 ( üç basamak ayrıldığı için 681’i yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )
164 + 1 = 165
|
4 |
1 |
6 |
5 |
6 |
8 |
1 |
O halde 20412 = 4165681’dir.
3000 ile 3099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 9’dur.
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 6 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
9 |
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
30062 = ?
1. İlk kısım 9’dur.
|
9 |
|
|
|
|
|
|
2. 06 x 6 = 36 (üç basamak ayrıldığı için 036 )
|
9 |
0 |
3 |
6 |
|
|
|
3. 06 x 06 = 36 ( üç basamak ayrıldığı için 036 )
|
9 |
0 |
3 |
6 |
0 |
3 |
6 |
O halde 30062 = 9036036’dır.
Örnek :
30512 = ?
1. İlk kısım 9’dur.
|
9 |
|
|
|
|
|
|
2. 51 x 6 = 306
|
9 |
3 |
0 |
6 |
|
|
|
3. 51 x 51 = 2601 ( üç basamak ayrıldığı için 601’i yazıp, 2’yi bir önceki sayıya ekliyoruz. )
306 + 2 = 308
|
9 |
3 |
0 |
8 |
6 |
0 |
1 |
O halde 30512 = 9308601’dir.
4000 ile 4099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 16’dır.
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 8 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
40162 = ?
1. İlk kısım 16’dır.
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
2. 16 x 8 = 128
|
1 |
6 |
1 |
2 |
8 |
|
|
|
3. 16 x 16 = 256
|
1 |
6 |
1 |
2 |
8 |
2 |
5 |
6 |
O halde 40162 = 16128256’dır.
Örnek :
40602 = ?
1. İlk kısım 16’dır.
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
2. 60 x 8 = 480
|
1 |
6 |
4 |
8 |
0 |
|
|
|
3. 60 x 60 = 3600 ( üç basamak ayrıldığı için 600’ü yazıp, 3’ü bir önceki sayıya ekliyoruz. )
480 + 3 = 483
|
1 |
6 |
4 |
8 |
3 |
6 |
0 |
0 |
O halde 40602 = 16483600’dür.
5000 ile 5099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 25’dir.
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 10 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
50212 = ?
1. İlk kısım 25’tir.
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
2. 21 x 10 = 210
|
2 |
5 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
3. 21 x 21 = 441
|
2 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
4 |
1 |
O halde 50212 = 25210441’dir.
Örnek :
50852 = ?
1. İlk kısım 25’tir.
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
2. 85 x 10 = 850
|
2 |
5 |
8 |
5 |
0 |
|
|
|
3. 85 x 85 = 7225 ( üç basamak ayrıldığı için 225’i yazıp, 7’yi bir önceki sayıya ekliyoruz. )
850 + 7 = 857
|
2 |
5 |
8 |
5 |
7 |
2 |
2 |
5 |
O halde 50852 = 25857225’tir.
6000 ile 6099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 36’dır. ( Elde varsa 37 )
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 12 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
3 |
6-7 |
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
60162 = ?
1. İlk kısım 36’dır.
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
2. 16 x 12 = 192
|
3 |
6 |
1 |
9 |
2 |
|
|
|
3. 16 x 16 = 256
|
3 |
6 |
1 |
9 |
2 |
2 |
5 |
6 |
O halde 60162 = 36192256’dır.
Örnek :
60802 = ?
1. İlk kısım 36’dır.
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
2. 80 x 12 = 960
|
3 |
6 |
9 |
6 |
0 |
|
|
|
3. 80 x 80 = 6400 ( üç basamak ayrıldığı için 400’ü yazıp, 6’yı bir önceki sayıya ekliyoruz. )
960 + 6 = 966
|
3 |
6 |
9 |
6 |
6 |
4 |
0 |
0 |
O halde 60802 = 36966400’dür.
7000 ile 7099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 49’dur. ( Elde varsa 50 )
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 14 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
70082 = ?
1. İlk kısım 49’dur.
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
2. 08 x 14 = 112
|
4 |
9 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
3. 08 x 08 = 64 ( üç basamak ayrıldığı için, 064 )
|
4 |
9 |
1 |
1 |
2 |
0 |
6 |
4 |
O halde 70082 = 49112064’tür.
Örnek :
70902 = ?
1. İlk kısım 49’dur.
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
2. 90 x 14 = 1260 ( üç basamak ayrıldığı için 260’ı yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )
49 + 1 = 50
|
5 |
0 |
2 |
6 |
0 |
|
|
|
3. 90 x 90 = 8100 ( üç basamak ayrıldığı için 100’ü yazıp, 8’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )
260 + 8 = 268
|
5 |
0 |
2 |
6 |
8 |
1 |
0 |
0 |
O halde 70902 = 50268100’dür.
8000 ile 8099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 64’tür. ( Elde varsa 65 )
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 16 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
80122 = ?
1. İlk kısım 64’tür.
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2. 12 x 16 = 192
|
6 |
4 |
1 |
9 |
2 |
|
|
|
3. 12 x 12 = 144
|
6 |
4 |
1 |
9 |
2 |
1 |
4 |
4 |
O halde 80122 = 64192144’tür.
Örnek :
80852 = ?
1. İlk kısım 64’tür.
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2. 85 x 16 = 1360 ( üç basamak ayrıldığı için 360’ı yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )
64 + 1 = 65
|
6 |
5 |
3 |
6 |
0 |
|
|
|
3. 85 x 85 = 7225 ( üç basamak ayrıldığı için 225’i yazıp, 7’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )
360 + 7 = 367
|
6 |
5 |
3 |
6 |
7 |
2 |
2 |
5 |
O halde 80852 = 65367225’tir.
9000 ile 9099 arasındaki Sayıların Karesi:
1. İlk kısım 81’dir. ( Elde varsa 82 )
2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 18 katıdır.
3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Örnek :
90202 = ?
1. İlk kısım 81’dir.
|
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2. 20 x 18 = 360
|
8 |
1 |
3 |
6 |
0 |
|
|
|
3. 20 x 20 = 400
|
8 |
1 |
3 |
6 |
0 |
4 |
0 |
0 |
O halde 90202 = 81360400’dür.
Örnek :
90752 = ?
1. İlk kısım 81’dir.
|
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2. 75 x 18 = 1350 ( üç basamak ayrıldığı için 350’yi yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )
81 + 1 = 82
|
8 |
2 |
3 |
5 |
0 |
|
|
|
3. 75 x 75 = 5625 ( üç basamak ayrıldığı için 625’i yazıp, 5’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )
350 + 5 = 355
|
8 |
2 |
3 |
5 |
5 |
6 |
2 |
5 |
O halde 90752 = 82355625’tir.
|
KENDİNİZİ DENEYİN ! |
1- 322 = …………………
2- 562 = …………………
3- 1432 = …………………
4- 982 = …………………
5- 9942 = …………………
6- 99972 = …………………
7- 999932 = …………………
8- 10042 = …………………
9- 100082 = …………………
10- 4932 = …………………
11- 6122 = …………………
12- 50072 = …………………
13- 100000142 = …………………
14- 452 = …………………
15- 1252 = …………………
16- 3652 = …………………
17- 122 = …………………
18- 172 = …………………
19- 192 = …………………
20- 532 = …………………
21- 572 = …………………
22- 932 = …………………
23- 962 = …………………
24- 412 = …………………
25- 712 = …………………
26- 912 = …………………
27- 422 = …………………
28- 722 = …………………
29- 922 = …………………
30- 432 = …………………
31- 732 = …………………
32- 832 = …………………
33- 342 = …………………
34- 542 = …………………
35- 742 = …………………
36- 362 = …………………
37- 462 = …………………
38- 662 = …………………
39- 772 = …………………
40- 872 = …………………
41- 972 = …………………
42- 382 = …………………
43- 782 = …………………
44- 882 = …………………
45- 292 = …………………
46- 592 = …………………
47- 792 = …………………
48- 33332 = …………………
49- 3333332 = …………………
50- 333333332 = …………………
51- 66662 = …………………
52- 6666662 = …………………
53- 666666662 = …………………
54- 11112 = …………………
55- 1111112 = …………………
56- 111111112 = …………………
57- 99992 = …………………
58- 9999992 = …………………
59- 999999992 = …………………
60- 1082 = …………………
61- 1122 = …………………
62- 1212 = …………………
63- 10082 = …………………
64- 10122 = …………………
65- 10412 = …………………
66- 20072 = …………………
67- 20142 = …………………
68- 20522 = …………………
69- 30062 = …………………
70- 30112 = …………………
71- 30242 = …………………
72- 40052 = …………………
73- 40142 = …………………
74- 40222 = …………………
75- 50032 = …………………
76- 50122 = …………………
77- 50822 = …………………
78- 60112 = …………………
79- 60262 = …………………
80- 60322 = …………………
81- 70032 = …………………
82- 70142 = …………………
83- 70982 = …………………
84- 80132 = …………………
85- 80422 = …………………
86- 80982 = …………………
87- 90162 = …………………
88- 90432 = …………………
89- 90822 = …………………
90- 90982 = …………………
hazırlayan: ayhan dever
