Eğer yaşamımızı ve çabalarımızı düşünürsek yaşayış ve isteklerimizin öteki insanların varlığına bağlı olduğunu görürüz. Bildiğimiz ve inandığımız şeyleri bize başka insanlar öğretmişlerdir. Herkesin değerini bilmeliyiz.
Albert EINSTEIN
Yaptığımız işlemlerin doğruluğunu anlayabilmek için bir kontrol mekanizması oluşturacağız. Bu doğrultuda verilen gerçek sayıların yerini tutacak sayılar kullanacağız.Bu yapılırken, işlemlerde kullanılan sayıların rakamları toplamı 10 dan küçük oluncaya kadar rakamlar toplanır. Bulduğumuz bu sayılara kullanılan matematiksel işlem uygulanarak sonuç tekrar 10 dan küçük oluncaya kadar rakamlar toplanarak kontrol cevabı bulunur. Daha sonra bulunan cevap içinde, rakamlar toplamı bulunup, kontrol cevabıyla karşılaştırılır. Eğer sonuçlar aynıysa işlem doğru, aynı değilse işlem yanlıştır.
Burada kullanılan metot, işlem sonucunun doğru olup olmadığı konusunda bize büyük ölçüde fikir verecektir.
İşlemlerin sağlamasını yapmadan önce sayıları nasıl ifade edeceğimizi anlamaya çalışalım.
Sayımız 24 olsun. Rakamlar toplamı,
2 + 4 = 6 (Sonuç 10’dan küçük olduğu için rakamları tekrar toplamıyoruz.)
Sayımız 87 olsun. Rakamlar toplamı,
8 + 7 = 15. ( Sonuç 10’dan büyük olduğu için rakamları tekrar toplayacağız.)
1 + 5 = 6.
Sayımız 48 olsun. Rakamlar toplamı,
4 + 8 = 12 ( 10’dan büyük )
1 + 2 = 3.
Sayımız 107 olsun. Rakamlar toplamı,
1 + 0 + 7 = 8.
Çarpma İşleminde Sağlama :
Örnek 1:
21 x 22 = 462
Yukarıdaki işlemin sağlamasını yapalım.
Çarpılan sayının ifadesi, 21→2 + 1 = 3
Çarpan sayının ifadesi, 22→ 2 + 2 =4
Şimdi yukarıdaki ifade tarzını kullanarak çarpımın ifadesini bulalım.
3 x 4 = 12 ( 10’dan büyük )
1 + 2 = 3 ( kontrol cevabı )
Kontrolünü yaptığımız sonucu ifade edelim.
462→ 4 + 6 + 2 = 12 ( 10’dan büyük)
1 + 2 = 3
İşlem sonucunun ifadesi ile kontrol cevabı aynıdır. Dolayısıyla sonuç doğrudur. Tam anlamıyla bir sağlama sağlanmasa da bulduğunuz sonucun doğruluğunu kontrol edebilirsiniz. Bu yöntem test sınavlarında size vakit kazandırır.
Örnek 2:
458 x 654 =299532
Sayıları ifade edelim.
458→ 4 + 5 + 8 = 17
17→1 + 7 = 8 ( Çarpılan )
654→6 + 5 + 4 = 15
15→1 + 5 = 6 ( Çarpan )
İşlem çarpma olduğu için, bulduğumuz bu ifadeleri çarpalım.
8 x 6 = 48 ( 10’dan büyük )
48→4 + 8 = 12 ( 10’dan büyük )
12→1 + 2 = 3 ( kontrol cevabı )
Kontrolünü yaptığımız sonucu ifade edelim.
299532→2 + 9 + 9 + 5 + 3 + 2 = 30 ( 10’dan büyük )
30→ 3 + 0 = 3 ( Verilen sonucun ifadesi )
Kontrol cevabı ile verilen sonucun ifadesi aynı olduğu için verilen sonuç doğrudur.
Toplama İşleminde Sağlama:
Örnek 1:
45 + 23 = 68
Sayıları ifade edelim.
45→4 + 5 = 9
23→2 + 3 = 5
Yapılan işlem toplama olduğu için ifadeleri toplayalım.
9 + 5 = 14 ( 10’dan büyük )
14→1 + 4 = 5( kontrol cevabı )
Şimdi verilen sonucu ifade edelim.
68→6 + 8 = 14 ( 10’dan büyük )
14→1 + 4 = 5
İki ifade de aynı olduğu için sonuç doğrudur.
Örnek 2:
701 +125 = 826
701→7 + 0 + 1 = 8
125→1 + 2 + 5 = 8
8 + 8 = 16 ( 10’dan büyük )
16→1 + 6 = 7
Verilen sonucun ifadesi,
826 →8 + 2 + 6 = 16 ( 10’dan büyük )
16→1 + 6 = 7’dir.
Sonuç doğrudur.
Çıkarma İşleminde Sağlama:
Örnek1:
45 – 11 = 34
45→4 + 5 = 9
11→1 + 1 = 2
9 – 2 = 7 ( kontrol cevabı )
Verilen sonucun ifadesi,
34→3 + 4 = 7’dir.
Sonuç doğrudur.
Örnek 2:
82 – 49 = 33
82→8 + 2 = 10
10→1 + 0 = 1
49→4 + 9 = 13
13→1 + 3 = 4
1 – 4 = -3 ( sonuç negatif bir sayı çıkarsa, sayı 9’dan çıkarılır.)
9 – 3 = 6. ( kontrol cevabı )
Verilen sonucu ifade edelim.
33→3 + 3 = 6
Sonuç doğrudur.
|
CEBİRSEL İSPAT : |
Burada kullanılan mantıkta herbir sayının 9’a bölümünden kalan sayılara, işlemimizi uyguladığımızda elde ettiğimiz sayı, sonucun 9’a bölümünden kalana eşittir. Bir sayının 9’a bölümünden kalanı, sayının rakamlarının toplanıp 9’un katları çıkarılarak bulunur. ( Rakamlar toplamı 9’dan küçük ise kalan, rakamlar toplamına eşittir. )
Kısaca, eşitlik doğruysa, eşitliğin her iki tarafındaki sayıların 9’a bölümleri aynı kalanı verecektir.
Örnek : 238’in 9’a bölümünden kalan kaçtır?
238 à 2 + 3 + 8 = 13
13 – 9 = 4
Dolayısıyla 238’in 9’a bölümünden kalan 4’tür.
238 + 121 = 359 eşitliğinin dogruluğunu ispatlayalım.
238 + 121 işlemini rakamlar toplamı şeklinde ifade edersek;
238 à 2 + 3 + 8 = 13
121 à 1 + 2 + 1 = 4
Aradaki işlem toplama ( + ) işlemi olduğu için eşitliğin sol tarafındaki sayıların 9’a bölümünden kalan
13 + 4 = 17
17 – 9 = 8 olur.
Eşitliğin sağ tarafındaki sayıların 9’a bölümünden kalan ;
359 à 3 + 5 + 9 = 17
17 – 9 = 8 olur.
Eşitlik doğruysa eşitliğin her iki tarafındaki sayıların 9’a bölümünden kalanlar eşit olacaktı. Bu durumda her iki tarafın 9’a bölünüden kalanlar (8) olduğu için sonuç doğrudur.
Yukarıdan anlaşılıyorki, işlem doğruysa eşitliğin solundaki kısmın ve sağındaki kısmın aynı bir sayıya bölümlerinden kalanlarda aynı olur. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, bölen olarak kullanacağımız sayıyı büyük tutmaktır. Örneğin, bölen olarak 11’de kullanabiliriz. 11 ile bölünebilme kuralı ise tam bölünebilme bölümünde anlatılacaktır.
|
KENDİNİZİ DENEYİN ! |
Aşağıdaki işlemlerin sağlamasını yapınız.
7 x 9 = 63
36 x 8 = 288
15 x 16 = 240
842 x 6 = 5052
456 x 24 = 10944
238 x 456 = 108528
7452 x 9 = 67068
6241 x 84 = 524244
1874 x 527 = 987598
6527 x 5684 = 37099468
12341 x 23651 = 291876991
6 + 8 = 14
49 + 7 = 56
24 + 84 = 108
817 + 8 = 825
457 + 25 = 482
651 + 895 = 1546
6517 + 5 = 6522
4158 + 74 = 4232
4568 + 534 = 5102
7859 + 5482 = 13341
41265 + 74213 = 115478
9 – 5 = 4
84 – 4 = 80
87 – 15 = 72
843 – 9 = 834
452 – 64 = 388
985 – 143 = 842
5684 – 7 = 5677
8762 – 56 = 8706
4569 – 741 = 3828
6845 – 4578 = 2267
87456 – 77742 = 9714
hazırlayan: ayhan dever
