AKILDAN KÜP ALMA TEKNİĞİ

0
709


Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.

Albert EINSTEIN

Yeni yaklaşımları örneklerle açıklamaya çalışacağım.

Yaklaşım 1:

Örnek 1:

133 işleminin sonucunu bulalım. Kendimize çarpma konusundaki yeni yaklaşımda yaptığımız gibi bir taban seçecegiz. Burada taban 10 olsun. Şimdi sayımızın tabandan farkını (sapma) bulalım.

13 – 10 = 3

Bu farkınn iki katını orjinal sayımıza ekleyelim.

3 x 2 = 6

13 + 6 = 19 (ilk kısım )

Şimdide sapmanın karesinin üç katını alalım.

3 x 32 = 27 ( bir sonraki kısım ), tabanda bir sıfır olduğu için 7 yazılacak, 2 bir sonraki işleme elde olarak eklenecek.

İlk sapmanın kübünü alalım.

33 = 27 ( son kısım), tabanda bir sıfır olduğu için 7 yazılacak, 2 bir sonraki işleme elde olarak eklenecek.

İşlem sırasını düzenlersek:

19 / 27 / 27

19 / 27 +2 / 7

19/ 29 / 7

19 + 2 / 9 / 7

21 / 9 / 7

O halde 133 = 2197’dir.

Yapılan işlemlerin hepsini aşağıdaki gibi gösterirsek ne yapacağımız daha net analaşılır. Herbir çizgi arasındaki basamak sayısı ise ifadelerin aşağısında

Orjinal sayı Sapmanın karesinin Sapmanın

+

Sapmanın 2 katı üç katı küpü

(Basamak sayısı tabandaki ( Basamak sayısı tabandaki

0’ların sayısı kadardır. ) 0’ların sayısı kadardır.)

Örnek 2:

153 = ? ( Taban 10 )

15 – 10 = 5 ( sapma)

5 x 2 = 10

15 + 10 = 25 ( ilk kısım )

3 x 52 = 75 (sonraki kısım )

53 = 125 ( son kısım )

25 / 75 / 125 à ( Seçtiğimiz taban en sağdaki kısmın nasıl yazılacağını belirler, tabanda bir 0 olduğu için bir

basamak kullanacağız. Birler basamağı dışındaki kısımlar bir önceki kısma elde olarak eklenecek.)

25 / 75 + 12 / 5

25 / 87 / 5 ( Tabanda bir sıfır olduğu için sadece birler basamağındaki rakam kullanılacak. Diğer kısımlar elde

olarak bir önceki kısma eklenecek. )

25 + 8 / 7 / 5

33 / 7 / 5

O halde 153 = 3375’tir.

Örnek 3:

943 = ? ( Taban 100 )

94 – 100 = -6 ( sapma )

-6 x 2 = -12

94 – 12 = 82 ( ilk kısım)

3 x ( -6) 2 = 108 ( sonraki kısım )

(-6) 3 = -216

82 / 108 / –216

82 / 108 – 2 / -16

82 / 106 / -16 ( bir önceki işlemden bir yüzlük alırız.)

82 / 105 / 100-16

82 / 105 /84

82 + 1 / 05 / 84

83 / 05 / 84

O halde 943 = 830584’tür.

Örnek 4 :

1023 = ? ( Taban 100 )

Tabanda iki sıfır olduğu için ilk kısım dışındaki diğer kısımlar iki basamaklı ifade edilecek.

102 – 100 = 2

2 x 2 = 4

102 + 4 = 106 ( ilk kısım )

3 x 22 = 12 ( sonraki kısım )

23 = 8 , tabanda iki sıfır olduğu için, 08.

106 / 12 / 08

O halde 1023 = 1061208’dir.

Örnek 5:

1123 = ? ( Taban 100 )

112 – 100 = 12

2 x 12 = 24

112 + 24 = 136 ( ilk kısım )

3 x 122 = 432 ( sonraki kısım )

133 = 1728 ( son kısım )

136 / 432 / 1728

136 / 432 + 17 / 28

136 / 449 / 28

136 + 4 / 49 / 28

140 / 49 / 28

O halde 1123 = 1404928’dir.

Örnek 6 :

10023 = ? ( Taban 1000)

1002 – 1000 = 2

2 x 2 = 4

1002 + 4 = 1006 ( ilk kısım )

3 x 22 = 12, tabanda üç sıfır olduğu için, 012 ( sonraki kısım )

23 = 8, tabanda üç sıfır olduğu için, 008 ( son kısım )

1006 / 012 / 008

O halde 10023 = 1006012008’dir.

Örnek 7:

9983 = ? ( Taban 1000 )

998 – 1000 = -2

2 x (-2) = -4

998 – 4 = 994 ( ilk kısım )

3 x (-2) 2 = 12, tabanda üç sıfır olduğu için, 012 ( sonraki kısım )

(-2) 3 = -8 ( son kısım )

994 / 012 / -8 ( bir önceki kısımdan bir binlik alırsak)

994 / 011 / 1000 – 8

994 / 011 / 992

O halde 9983 = 994011992’dir.

Örnek 8:

100053 = ? ( Taban 10000 )

10005 – 10000 = 5

2 x 5 = 10

10005 + 10 = 10015 ( ilk kısım )

3 x 52 = 75, tabanda dört sıfır olduğu için, 0075 ( sonraki kısım )

53 = 125, tabanda dört sıfır olduğu için, 0125 ( son kısım )

10015 / 0075 / 0125

O halde 100053 = 1001500750125’dir.

Örnek 9:

99933 = ? ( Taban 10000 )

9993 – 10000 = -7

2 x (-7) = -14

9993 – 14 = 9979 ( ilk kısım )

3 x (-7) 2 = 147, tabanda dört sıfır olduğu için, 0147 ( sonraki kısım )

(-7) 3 = -343

9979 / 0147 / -343 ( bir önceki kısımdan bir onbinlik alırsak )

9979 / 0146 / 10000 – 343

9979 / 0146 / 9657

O halde 99933 = 997901469657’dir.

Örnek 10:

1000063 = ? ( Taban 100000 )

100006 – 100000 = 6

2 x 6 = 12

100006 + 12 = 100018 ( ilk kısım )

3 x 62 = 108, tabanda beş sıfır olduğu için, 00108 ( sonraki kısım )

63 = 216, tabanda beş sıfır olduğu için, 00216 ( son kısım )

100018 / 00108 / 00216

O halde 1000063 = 1000180010800216’dır.

Örnek 11:

9999983 = ? ( Taban 1000000 )

999998 – 1000000 = -2

2 x (-2) =-4

999998 – 4 = 999994 ( ilk kısım )

3 x (-2) 2 = 12, tabanda altı sıfır olduğu için, 000012 ( sonraki kısım )

(-2)3 = -8 ( son kısım )

999994 / 000012 / -8 ( bir önceki kısımdan bir bir milyonluk alırsak )

999994 / 000011 / 999992

O halde 9999983 = 999994000011999992’dir.

Çarpma konusundan hatırlayacağımız gibi taban olarak 10’un kuvvetlerinin katını kullanabiliyorduk. Şimdi bunlarla ilgili örnekleri inceleyelim.

Örnek 12:

473 = ? ( Taban 5 x 10 )

Taban katsayısı

Burada bir önce kullandığımız mantığa ek olarak ilk iki kısma uygulacak ek işlem aşağıda verilmiştir.

Taban katsayısının Taban Herhangi bir değişiklik yok

Karesi Katsayısı

47 – 50 = -3

2 x (-3) = -6

47 – 6 = 41 ( burada ek işlemi uygulayacağız, taban katsayısının karesi ile çarpacağız)

41 x 52 = 1025 ( ilk kısım )

3 x (-3) 2 = 27( burada ek işlemi uygulayacağız, taban katsayısı ile çarpacağız)

27 x 5 = 135 ( sonraki kısım, tabanda bir sıfır var )

(-3)3 = -27 ( son kısım, tabanda bir sıfır var )

1025 / 135 / -27 ( bir önceki kısımdan üç onluk alırsak )

1025 / 132 / 30 –27

1025 / 132 / 3

1025 +13 / 2 / 3

1038 / 2 / 3

O halde 473 = 103823’tür.

Örnek 13:

543 = ? ( Taban 5×10 )

54 – 50 = 4

2 x 4 = 8

54 + 8 = 62

62 x 52 = 1550 ( ilk kısım )

3 x 42 = 48

48 x 5 = 240 ( sonraki kısım )

43 = 64

1550 / 240 / 64

1550 / 240 + 6 / 4

1550 / 246 / 4

1550 + 24 / 6 / 4

1574 / 6 / 4

O halde 543 = 157464’tür.

Örnek 14:

213 = ? ( Taban 2 x 10 )

21 – 20 = 1

2 x 1 = 2

21 + 2 = 23

23 x 22 = 92 ( ilk kısım )

3 x 12 = 3

3 x 2 = 6 ( sonraki kısım )

13 = 1 ( son kısım )

92 / 6 / 1

O halde 213 = 9261’dir.

Yaklaşım 2:

Öncelikle 1’den 10’a kadarki sayıların kübünü bilmek işimizi kolaylaştıracaktır.

13 = 1

23 = 8

33 = 27

43 = 64

53 = 125

63 = 216

73 = 343

83 = 512

93 = 729

103 = 1000.

Bu yaklaşımda bildiğimiz bir özdeşlik bize yardımcı oluyor.

(x+y) 3 = x3 +3x2 y + 3xy2 + y3

Bu özdeşliğin sağ tarafını aşağıdaki gibi düzenleyelim.

x3 x2y xy2 y3

x2y xy2

+ x2y xy2

 

x sayının birler basamağındaki rakam dışında kalan kısmı, y ise birler basamağındaki rakamı temsil eder.

Yukarıdaki toplamda en soldaki toplam dışında herbir toplamın birler basamağındaki rakam yazılıp , geri kalan kısım bir soldaki sayıya elde olarak eklenir.

Örnek 1:

113 = ?

x = 1, y= 1, yerine yazıp, sonucu bulalım.

1 1 1 1

1 1

+ 1 1

 

1 3 3 1

O halde 113 = 1331’dir.

Örnek 2:

123 = ?

x=1, y=2

1 2 4 8

2 4

+ 2 4

 

1 6 12 8

 

1 6+1 2 8

1 7 2 8

O halde 123 = 1728’dir.

Örnek 3:

133 = ?

x= 1, y=3

1 3 9 27

3 9

3 9

1 9 27 27

1 9 27+2 7

1 9 29 7

1 9+2 9 7

1 11 9 7

1+1 1 9 7

2 1 9 7

O halde 133 = 2197’dir.

Örnek 4:

143 = ?

x= 1, y=4

1 4 16 64

4 16

4 16

1 12 48 64

1 12 48+6 4

1 12 54 4

1 12+5 4 4

1 17 4 4

1+1 7 4 4

2 7 4 4

O halde 143 = 2744’tür.

Örnek 5:

153 = ?

x= 1, y=5

1 5 25 125

5 25

5 25

1 15 75 125

1 15 75+12 5

1 15 87 5

1 15+8 7 5

1 23 7 5

1+2 3 7 5

3 3 7 5

O halde 153 = 3375’tir.

Örnek 6:

163 = ?

x= 1, y=6

1 6 36 216

6 36

6 36

1 18 108 216

1 18 108+21 6

1 18 129 6

1 18+12 9 6

1 30 9 6

1+3 0 9 6

4 0 9 6

O halde 163 = 4096’dır.

Örnek 7:

173 = ?

x= 1, y=7

1 7 49 343

7 49

7 49

1 21 147 343

1 21 147+34 3

1 21 181 3

1 21+18 1 3

1 39 1 3

1+3 9 1 3

4 9 1 3

O halde 173 = 4913’tür.

Örnek 8:

183 = ?

x= 1, y=8

1 8 64 512

8 64

8 64

1 24 192 512

1 24 192+51 2

1 24 243 2

1 24+24 3 2

1 48 3 2

1+4 8 3 2

5 8 3 2

O halde 183 = 5832’dir.

Örnek 9:

193 = ?

x= 1, y=9

1 9 81 729

9 81

9 81

1 27 243 729

1 27 243+72 9

1 27 315 9

1 27+31 5 9

1 58 5 9

1+5 8 5 9

6 8 5 9

O halde 193 = 6859’dur.

Örnek 10:

203 = ?

x= 2, y=0

8 0 0 0

0 0

0 0

8 0 0 0

O halde 203 = 8000’dir.

Örnek 11:

213 = ?

x= 2, y=1

8 4 2 1

4 2

4 2

8 12 6 1

8+1 2 6 1

9 2 6 1

O halde 213 = 9261’dir.

Örnek 12:

223 = ?

x= 2, y=2

8 8 8 8

8 8

8 8

8 24 24 8

8 24+2 4 8

8 26 4 8

8+2 6 4 8

10 6 4 8

O halde 223 = 10648’dir.

Örnek 13:

233 = ?

x= 2, y=3

8 12 18 27

12 18

12 18

8 36 54 27

8 36 54+2 7

8 36 56 7

8 36+5 6 7

8 41 6 7

8+4 1 6 7

12 1 6 7

O halde 233 = 12167’dir.

Örnek 14:

243 = ?

x= 2, y=4

8 16 32 64

16 32

16 32

8 48 96 64

8 48 96+6 4

8 48 102 4

8 48+10 2 4

8 58 2 4

8+5 8 2 4

13 8 2 4

O halde 243 = 13824’tür.

Örnek 15:

253 = ?

x= 2, y=5

8 20 50 125

20 50

20 50

8 60 150 125

8 60 150+12 5

8 60 162 5

8 60+16 2 5

8 76 2 5

8+7 6 2 5

15 6 2 5

O halde 253 = 15625’tir.

Örnek 16:

343 = ?

x= 3, y=4

27 36 48 64

36 48

36 48

27 108 144 64

27 108 144+6 4

27 108 150 4

27 108+15 0 4

27 123 0 4

27+12 3 0 4

39 3 0 4

O halde 343 = 39304’tür.

Bu yaklaşımı diger özdeşliklere de uygulayabiliriz. Örneğin bir sayının dördüncü kuvveti bulunurken (x+y) 4 açılımını düzenlersek yine hızlı bir şekilde sonuca ulaşabiliriz.

(x+y) 4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 +y4

Yukarıdaki ifadenin sağ tarafını düzenleyelim.

x4 x3 y x2 y2 xy3 y4

+ 3x3 y 5x2 y2 3xy3

 

Örnek :

114 = ?

x=1, y=1

1 1 1 1 1

3 5 3

 

1 4 6 4 1

O halde 114 = 14641’dir.

Örnek :

214 = ?

x=2, y=1

16 8 4 2 1

24 20 6

 

16 32 24 8 1

16 32+2 4 8 1

16 34 4 8 1

16+3 4 4 8 1

19 4 4 8 1

O halde 214 = 194481’dir.

Örnek :

224 = ?

x=2, y=2

16 16 16 16 16

48 80 48

 

16 64 96 64 16

16 64 96 64+1 6

16 64 96 65 6

16 64 96+6 5 6

16 64 102 5 6

16 64+10 2 5 6

16 74 2 5 6

 

16+7 4 2 5 6

23 4 2 5 6

O halde 224 = 234256’dir.

KENDİNİZİ DENEYİN !

1- 163 = ………………….

2- 193 = ………………….

3- 223 = ………………….

4- 243 = ………………….

5- 333 = ………………….

6- 413 = ………………….

7- 433 = ………………….

8- 483 = ………………….

9- 513 = ………………….

10- 533 = ………………….

11- 613 = ………………….

12- 963 = ………………….

13- 993 = ………………….

14- 1033 = ………………….

15- 1053 = ………………….

16- 1143 = ………………….

17- 9963 = ………………….

18- 9993 = ………………….

19- 10023 = ………………….

20- 10073 = ………………….

21- 99943 = ………………….

22- 99983 = ………………….

23- 100043 = ………………….

24- 100123 = ………………….

25- 999943 = ………………….

26- 999973 = ………………….

27- 1000083 = ………………….

28- 1000113 = ………………….

29- 9999973 = ………………….

30- 9999993 = ………………….

31- 124 = ………………….

32- 134 = ………………….

33- 224 = ………………….

34- 314 = ………………….

35- 424 = ………………….

hazırlayan: ayhan dever

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz
Lütfen adınızı yazınız