Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.
Albert EINSTEIN
Yeni yaklaşımları örneklerle açıklamaya çalışacağım.
Yaklaşım 1:
Örnek 1:
133 işleminin sonucunu bulalım. Kendimize çarpma konusundaki yeni yaklaşımda yaptığımız gibi bir taban seçecegiz. Burada taban 10 olsun. Şimdi sayımızın tabandan farkını (sapma) bulalım.
13 – 10 = 3
Bu farkınn iki katını orjinal sayımıza ekleyelim.
3 x 2 = 6
13 + 6 = 19 (ilk kısım )
Şimdide sapmanın karesinin üç katını alalım.
3 x 32 = 27 ( bir sonraki kısım ), tabanda bir sıfır olduğu için 7 yazılacak, 2 bir sonraki işleme elde olarak eklenecek.
İlk sapmanın kübünü alalım.
33 = 27 ( son kısım), tabanda bir sıfır olduğu için 7 yazılacak, 2 bir sonraki işleme elde olarak eklenecek.
İşlem sırasını düzenlersek:
19 / 27 / 27
19 / 27 +2 / 7
19/ 29 / 7
19 + 2 / 9 / 7
21 / 9 / 7
O halde 133 = 2197’dir.
Yapılan işlemlerin hepsini aşağıdaki gibi gösterirsek ne yapacağımız daha net analaşılır. Herbir çizgi arasındaki basamak sayısı ise ifadelerin aşağısında
Orjinal sayı Sapmanın karesinin Sapmanın
+
Sapmanın 2 katı üç katı küpü
(Basamak sayısı tabandaki ( Basamak sayısı tabandaki
0’ların sayısı kadardır. ) 0’ların sayısı kadardır.)
Örnek 2:
153 = ? ( Taban 10 )
15 – 10 = 5 ( sapma)
5 x 2 = 10
15 + 10 = 25 ( ilk kısım )
3 x 52 = 75 (sonraki kısım )
53 = 125 ( son kısım )
25 / 75 / 125 à ( Seçtiğimiz taban en sağdaki kısmın nasıl yazılacağını belirler, tabanda bir 0 olduğu için bir
basamak kullanacağız. Birler basamağı dışındaki kısımlar bir önceki kısma elde olarak eklenecek.)
25 / 75 + 12 / 5
25 / 87 / 5 ( Tabanda bir sıfır olduğu için sadece birler basamağındaki rakam kullanılacak. Diğer kısımlar elde
olarak bir önceki kısma eklenecek. )
25 + 8 / 7 / 5
33 / 7 / 5
O halde 153 = 3375’tir.
Örnek 3:
943 = ? ( Taban 100 )
94 – 100 = -6 ( sapma )
-6 x 2 = -12
94 – 12 = 82 ( ilk kısım)
3 x ( -6) 2 = 108 ( sonraki kısım )
(-6) 3 = -216
82 / 108 / –216
82 / 108 – 2 / -16
82 / 106 / -16 ( bir önceki işlemden bir yüzlük alırız.)
82 / 105 / 100-16
82 / 105 /84
82 + 1 / 05 / 84
83 / 05 / 84
O halde 943 = 830584’tür.
Örnek 4 :
1023 = ? ( Taban 100 )
Tabanda iki sıfır olduğu için ilk kısım dışındaki diğer kısımlar iki basamaklı ifade edilecek.
102 – 100 = 2
2 x 2 = 4
102 + 4 = 106 ( ilk kısım )
3 x 22 = 12 ( sonraki kısım )
23 = 8 , tabanda iki sıfır olduğu için, 08.
106 / 12 / 08
O halde 1023 = 1061208’dir.
Örnek 5:
1123 = ? ( Taban 100 )
112 – 100 = 12
2 x 12 = 24
112 + 24 = 136 ( ilk kısım )
3 x 122 = 432 ( sonraki kısım )
133 = 1728 ( son kısım )
136 / 432 / 1728
 |
136 / 432 + 17 / 28
136 / 449 / 28
136 + 4 / 49 / 28
140 / 49 / 28
O halde 1123 = 1404928’dir.
Örnek 6 :
10023 = ? ( Taban 1000)
1002 – 1000 = 2
2 x 2 = 4
1002 + 4 = 1006 ( ilk kısım )
3 x 22 = 12, tabanda üç sıfır olduğu için, 012 ( sonraki kısım )
23 = 8, tabanda üç sıfır olduğu için, 008 ( son kısım )
1006 / 012 / 008
O halde 10023 = 1006012008’dir.
Örnek 7:
9983 = ? ( Taban 1000 )
998 – 1000 = -2
2 x (-2) = -4
998 – 4 = 994 ( ilk kısım )
3 x (-2) 2 = 12, tabanda üç sıfır olduğu için, 012 ( sonraki kısım )
(-2) 3 = -8 ( son kısım )
994 / 012 / -8 ( bir önceki kısımdan bir binlik alırsak)
994 / 011 / 1000 – 8
994 / 011 / 992
O halde 9983 = 994011992’dir.
Örnek 8:
100053 = ? ( Taban 10000 )
10005 – 10000 = 5
2 x 5 = 10
10005 + 10 = 10015 ( ilk kısım )
3 x 52 = 75, tabanda dört sıfır olduğu için, 0075 ( sonraki kısım )
53 = 125, tabanda dört sıfır olduğu için, 0125 ( son kısım )
10015 / 0075 / 0125
O halde 100053 = 1001500750125’dir.
Örnek 9:
99933 = ? ( Taban 10000 )
9993 – 10000 = -7
2 x (-7) = -14
9993 – 14 = 9979 ( ilk kısım )
3 x (-7) 2 = 147, tabanda dört sıfır olduğu için, 0147 ( sonraki kısım )
(-7) 3 = -343
9979 / 0147 / -343 ( bir önceki kısımdan bir onbinlik alırsak )
9979 / 0146 / 10000 – 343
9979 / 0146 / 9657
O halde 99933 = 997901469657’dir.
Örnek 10:
1000063 = ? ( Taban 100000 )
100006 – 100000 = 6
2 x 6 = 12
100006 + 12 = 100018 ( ilk kısım )
3 x 62 = 108, tabanda beş sıfır olduğu için, 00108 ( sonraki kısım )
63 = 216, tabanda beş sıfır olduğu için, 00216 ( son kısım )
100018 / 00108 / 00216
O halde 1000063 = 1000180010800216’dır.
Örnek 11:
9999983 = ? ( Taban 1000000 )
999998 – 1000000 = -2
2 x (-2) =-4
999998 – 4 = 999994 ( ilk kısım )
3 x (-2) 2 = 12, tabanda altı sıfır olduğu için, 000012 ( sonraki kısım )
(-2)3 = -8 ( son kısım )
999994 / 000012 / -8 ( bir önceki kısımdan bir bir milyonluk alırsak )
999994 / 000011 / 999992
O halde 9999983 = 999994000011999992’dir.
Çarpma konusundan hatırlayacağımız gibi taban olarak 10’un kuvvetlerinin katını kullanabiliyorduk. Şimdi bunlarla ilgili örnekleri inceleyelim.
Örnek 12:
473 = ? ( Taban 5 x 10 )
Taban katsayısı
Burada bir önce kullandığımız mantığa ek olarak ilk iki kısma uygulacak ek işlem aşağıda verilmiştir.
 |
 |
Taban katsayısının Taban Herhangi bir değişiklik yok
Karesi Katsayısı
47 – 50 = -3
2 x (-3) = -6
47 – 6 = 41 ( burada ek işlemi uygulayacağız, taban katsayısının karesi ile çarpacağız)
41 x 52 = 1025 ( ilk kısım )
3 x (-3) 2 = 27( burada ek işlemi uygulayacağız, taban katsayısı ile çarpacağız)
27 x 5 = 135 ( sonraki kısım, tabanda bir sıfır var )
(-3)3 = -27 ( son kısım, tabanda bir sıfır var )
1025 / 135 / -27 ( bir önceki kısımdan üç onluk alırsak )
1025 / 132 / 30 –27
1025 / 132 / 3
 |
1025 +13 / 2 / 3
1038 / 2 / 3
O halde 473 = 103823’tür.
Örnek 13:
543 = ? ( Taban 5×10 )
54 – 50 = 4
2 x 4 = 8
54 + 8 = 62
62 x 52 = 1550 ( ilk kısım )
3 x 42 = 48
48 x 5 = 240 ( sonraki kısım )
43 = 64
1550 / 240 / 64
 |
1550 / 240 + 6 / 4
1550 / 246 / 4
1550 + 24 / 6 / 4
1574 / 6 / 4
O halde 543 = 157464’tür.
Örnek 14:
213 = ? ( Taban 2 x 10 )
21 – 20 = 1
2 x 1 = 2
21 + 2 = 23
23 x 22 = 92 ( ilk kısım )
3 x 12 = 3
3 x 2 = 6 ( sonraki kısım )
13 = 1 ( son kısım )
92 / 6 / 1
O halde 213 = 9261’dir.
Yaklaşım 2:
Öncelikle 1’den 10’a kadarki sayıların kübünü bilmek işimizi kolaylaştıracaktır.
13 = 1
23 = 8
33 = 27
43 = 64
53 = 125
63 = 216
73 = 343
83 = 512
93 = 729
103 = 1000.
Bu yaklaşımda bildiğimiz bir özdeşlik bize yardımcı oluyor.
(x+y) 3 = x3 +3x2 y + 3xy2 + y3
Bu özdeşliğin sağ tarafını aşağıdaki gibi düzenleyelim.
x3 x2y xy2 y3
x2y xy2
+ x2y xy2
x sayının birler basamağındaki rakam dışında kalan kısmı, y ise birler basamağındaki rakamı temsil eder.
Yukarıdaki toplamda en soldaki toplam dışında herbir toplamın birler basamağındaki rakam yazılıp , geri kalan kısım bir soldaki sayıya elde olarak eklenir.
Örnek 1:
113 = ?
x = 1, y= 1, yerine yazıp, sonucu bulalım.
1 1 1 1
1 1
+ 1 1
1 3 3 1
O halde 113 = 1331’dir.
 |
Örnek 2:
123 = ?
x=1, y=2
1 2 4 8
2 4
+ 2 4
1 6 12 8
1 6+1 2 8
1 7 2 8
O halde 123 = 1728’dir.
Örnek 3:
133 = ?
x= 1, y=3
1 3 9 27
3 9
3 9
1 9 27 27
1 9 27+2 7
1 9 29 7
1 9+2 9 7
1 11 9 7
 |
1+1 1 9 7
2 1 9 7
O halde 133 = 2197’dir.
Örnek 4:
143 = ?
x= 1, y=4
1 4 16 64
4 16
4 16
1 12 48 64
1 12 48+6 4
1 12 54 4
1 12+5 4 4
1 17 4 4
|
1+1 7 4 4
2 7 4 4
O halde 143 = 2744’tür.
Örnek 5:
153 = ?
x= 1, y=5
1 5 25 125
5 25
5 25
1 15 75 125
1 15 75+12 5
1 15 87 5
1 15+8 7 5
1 23 7 5
|
1+2 3 7 5
3 3 7 5
O halde 153 = 3375’tir.
Örnek 6:
163 = ?
x= 1, y=6
1 6 36 216
6 36
6 36
1 18 108 216
1 18 108+21 6
1 18 129 6
1 18+12 9 6
1 30 9 6
|
1+3 0 9 6
4 0 9 6
O halde 163 = 4096’dır.
Örnek 7:
173 = ?
x= 1, y=7
1 7 49 343
7 49
7 49
1 21 147 343
1 21 147+34 3
1 21 181 3
1 21+18 1 3
1 39 1 3
|
1+3 9 1 3
4 9 1 3
O halde 173 = 4913’tür.
Örnek 8:
183 = ?
x= 1, y=8
1 8 64 512
8 64
8 64
1 24 192 512
1 24 192+51 2
1 24 243 2
1 24+24 3 2
1 48 3 2
|
1+4 8 3 2
5 8 3 2
O halde 183 = 5832’dir.
Örnek 9:
193 = ?
x= 1, y=9
1 9 81 729
9 81
9 81
1 27 243 729
1 27 243+72 9
1 27 315 9
1 27+31 5 9
1 58 5 9
|
1+5 8 5 9
6 8 5 9
O halde 193 = 6859’dur.
Örnek 10:
203 = ?
x= 2, y=0
8 0 0 0
0 0
0 0
8 0 0 0
O halde 203 = 8000’dir.
Örnek 11:
213 = ?
x= 2, y=1
8 4 2 1
4 2
4 2
8 12 6 1
8+1 2 6 1
9 2 6 1
O halde 213 = 9261’dir.
Örnek 12:
223 = ?
x= 2, y=2
8 8 8 8
8 8
8 8
8 24 24 8
8 24+2 4 8
8 26 4 8
8+2 6 4 8
10 6 4 8
O halde 223 = 10648’dir.
Örnek 13:
233 = ?
x= 2, y=3
8 12 18 27
12 18
12 18
8 36 54 27
8 36 54+2 7
8 36 56 7
8 36+5 6 7
8 41 6 7
 |
8+4 1 6 7
12 1 6 7
O halde 233 = 12167’dir.
Örnek 14:
243 = ?
x= 2, y=4
8 16 32 64
16 32
16 32
8 48 96 64
8 48 96+6 4
8 48 102 4
8 48+10 2 4
8 58 2 4
|
8+5 8 2 4
13 8 2 4
O halde 243 = 13824’tür.
Örnek 15:
253 = ?
x= 2, y=5
8 20 50 125
20 50
20 50
8 60 150 125
8 60 150+12 5
8 60 162 5
8 60+16 2 5
8 76 2 5
|
8+7 6 2 5
15 6 2 5
O halde 253 = 15625’tir.
Örnek 16:
343 = ?
x= 3, y=4
27 36 48 64
36 48
36 48
27 108 144 64
27 108 144+6 4
27 108 150 4
27 108+15 0 4
27 123 0 4
|
27+12 3 0 4
39 3 0 4
O halde 343 = 39304’tür.
Bu yaklaşımı diger özdeşliklere de uygulayabiliriz. Örneğin bir sayının dördüncü kuvveti bulunurken (x+y) 4 açılımını düzenlersek yine hızlı bir şekilde sonuca ulaşabiliriz.
(x+y) 4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 +y4
Yukarıdaki ifadenin sağ tarafını düzenleyelim.
x4 x3 y x2 y2 xy3 y4
+ 3x3 y 5x2 y2 3xy3
Örnek :
114 = ?
x=1, y=1
1 1 1 1 1
3 5 3
1 4 6 4 1
O halde 114 = 14641’dir.
Örnek :
214 = ?
x=2, y=1
16 8 4 2 1
24 20 6
16 32 24 8 1
16 32+2 4 8 1
16 34 4 8 1
16+3 4 4 8 1
19 4 4 8 1
O halde 214 = 194481’dir.
Örnek :
224 = ?
x=2, y=2
16 16 16 16 16
48 80 48
16 64 96 64 16
16 64 96 64+1 6
16 64 96 65 6
16 64 96+6 5 6
16 64 102 5 6
16 64+10 2 5 6
16 74 2 5 6
16+7 4 2 5 6
23 4 2 5 6
O halde 224 = 234256’dir.
|
KENDİNİZİ DENEYİN ! |
1- 163 = ………………….
2- 193 = ………………….
3- 223 = ………………….
4- 243 = ………………….
5- 333 = ………………….
6- 413 = ………………….
7- 433 = ………………….
8- 483 = ………………….
9- 513 = ………………….
10- 533 = ………………….
11- 613 = ………………….
12- 963 = ………………….
13- 993 = ………………….
14- 1033 = ………………….
15- 1053 = ………………….
16- 1143 = ………………….
17- 9963 = ………………….
18- 9993 = ………………….
19- 10023 = ………………….
20- 10073 = ………………….
21- 99943 = ………………….
22- 99983 = ………………….
23- 100043 = ………………….
24- 100123 = ………………….
25- 999943 = ………………….
26- 999973 = ………………….
27- 1000083 = ………………….
28- 1000113 = ………………….
29- 9999973 = ………………….
30- 9999993 = ………………….
31- 124 = ………………….
32- 134 = ………………….
33- 224 = ………………….
34- 314 = ………………….
35- 424 = ………………….
hazırlayan: ayhan dever
