Hayalgücü, bilgiden daha önemlidir.
Albert EINSTEIN
Öncelikle Çapraz çarpımı anlamaya çalışalım.
a a b a b c a b c d
 |
 |
 |
a a b a b c a b c d
a x a axb + axb axc + bxb + cxa axd + bxc + cxb + dxa
Örneklere uygulayalım.
6 21 312 2132
6 21 312 2132
6×6=36 2×1 + 1×2=4 3×2 + 1×1 + 2×3=13 2×2 + 1×3 + 3×1 + 2×2 =14
Şimdi örneklerle bir sayının karekökünün nasıl bulunacağını anlamaya çalışalım.
Örnek 1:
= ?
Öncelikle karekök içindeki sayıyı sağ baştan başlayıp ikişerli gruplara ayıralım. Buradaki grup sayısı bize karekökün tam kısmının basamak sayısını verir.
23 04
Karesi sol baştaki gruba en yakın yada eşit sayıyı bulalım. Sol baştaki grup 23 olduğu için 4 alınacak. (42 = 16, 52 = 25 olduğu için 23’ten küçük olan sayı 16’dır. ) Bulduğumuz bu sayının iki katını sol başa yazalım. Bu sayı bizim bölenimiz olacak.
4
4 x 2 23 04
Birinci gruptaki sayıdan, sonucun ilk rakamının karesini çıkarıp, kalanı bir sonraki gruptaki sayının önüne yazıp, elde ettiğimiz sayıyı, bölene (8), bölelim.
23 – 42 = 13 – 16 = 7
4
8 23 704
|
||||
 |
||||
70 8
64 8
6
4 8
8 23 064
Bundan sonra çıkarılacak sayıyı bulmak için, sonucun ikinci rakamından itibaren çıkaracağımız sayıyı bulmak için çapraz çarpımı kullanacağız.
84’ten sonucun ikinci rakamı olan 8’in çapraz çarpımını çıkarırsak,
8
8
8×8=64
64 – 64 = 0 ( Sonuç 0 çıktığı için verilen sayının karekökü, tamsayıdır. )
O halde = 48’dir.
Örnek 2:
= ?
Karekök içindeki sayıyı gruplandırırsak,
4 53 69
Karesi soldaki gruba en yakın yada eşit olan sayı 2’dir. ( 22 = 4 ) Bölenimiz ise 2 x 2 = 4 olur.
2
2 x 2 4 53 69
4 –22 = 4 – 4 = 0 ( Bir sonraki sayının önüne yazılıp, 4’e bölünür. )
2
4 4 053 69
|
05 4
04 1
sonucun ikinci rakamı
1
bir sonraki sayının önüne yazılacak
2 1
4 4 513 69
13’ten, 1’in çapraz çarpımını çıkaralım.
1
1
1×1=1
13 – 1 = 12 ( 12’yi bölene bölelim.)
|
12 4
04 3
sonucun ikinci rakamı
0
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
2 1 3
4 4 53 069
06’dan sonucun son iki rakamının(13) çapraz çarpımını çıkaralım.
13
13
1×3 + 3×1 = 6
06 – 6 = 0
0’ı, 4’e bölersek, bölümde 0, kalanda 0 olur.
2 1 3. 0
4 4 53 609
09’dan sonucun son üç rakamının çapraz çarpımını çıkarırsak,
130
130
1×0 + 3×3 + 0x1 = 9
09 – 9 = 0 ( fark 0 olduğu için, sayının karekökü tamsayıdır. )
O halde = 213’tür.
Örnek 3:
= ?
Karekök içindeki sayıyı gruplandırırsak,
18 17 31 69
Karesi soldaki gruba en yakın yada eşit olan sayı 4’dir. ( 42 = 16 ) Bölenimiz ise 2 x 4 = 8 olur.
4
2 x 4 18 17 31 69
18 –42 = 18 – 16 = 2 ( Bir sonraki sayının önüne yazılıp, 4’e bölünür. )
4
8 18 217 31 69
|
21 8
16 2
sonucun ikinci rakamı
5
bir sonraki sayının önüne yazılacak
4 2
8 18 157 31 69
57’den, 2’nin çapraz çarpımını çıkaralım.
2
2
2×2=4
57 – 4 = 53 ( 53’i bölene bölelim.)
|
53 8
48 6
sonucun üçüncü rakamı
5
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
4 2 6
8 18 17 531 69
53’ten sonucun son iki rakamının(26) çapraz çarpımını çıkaralım.
26
26
2×6 + 6×2 = 24
53 – 24 = 29 ( 29’u bölene bölelim.)
|
29 8
24 3
sonucun dördüncü rakamı
5
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
4 2 6 3
8 18 17 351 69
51’den sonucun son üç rakamının(263) çapraz çarpımını çıkaralım.
263
263
2×3 + 6×6 + 3×2= 48
53 – 48 = 3
|
3 8
0
sonucun beşinci rakamı
3
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
4 2 6 3 0
8 18 17 31 369
36’dan sonucun son dört rakamının(2630) çapraz çarpımını çıkaralım.
2630
2630
2×0 + 6×2 + 3×6 + 0x3 = 36
36 – 36 = 0
|
0 8
0
sonucun altıncı rakamı
0
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
4 2 6 3 0 0
8 18 17 31 609
09’dan sonucun son beş rakamının(26300) çapraz çarpımını çıkaralım.
26300
26300
2×0 + 6×0 + 3×3 + 0x6 + 0x2 = 9
09 – 9 = 0
|
0 8
0
sonucun yedinci rakamı
0
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
Sayılarımız bitti. Grup sayısı bize sonucun tam kısmının basamak sayısını verir. Grup sayısı dört olduğu için bulduğumuz sonuçta döet basamaktan sonraki kısma virgül koyarız.Sonuç 4263000’in ilk dört basamağından sonra virgül koyarız. O halde sonuç 4263,000
= 4263’tür.
İşlem sırası için
Çarpma
Çıkarma
Bölme
Çıkarma
Bölme
Çıkarma
.
.
.
.
.
.
.
şeklinde bir diziyi aklımızda tutmak faydalı olacaktır.
Örnek 4:
= ?
Karekök içindeki sayıyı gruplandırırsak,
5 21
Karesi soldaki gruba en yakın yada eşit olan sayı 2’dir. ( 22 = 4 ) Bölenimiz ise 2 x 2 = 4 olur.
2
2 x 2 5 21
5 –22 = 5 – 4 = 1 ( Bir sonraki sayının önüne yazılıp, 4’e bölünür. )
2
4 5 121
|
12 4
0 3
sonucun ikinci rakamı
0
bir sonraki sayının önüne yazılacak
2 3
4 5 201
01’den, 3’ün çapraz çarpımını çıkaralım.
3
3
3×3=9
01 – 9 = -8 ( Sonuç eksi olduğu için, bir önceki işlemde bölümün değerini bir düşürürüz.)
|
12 4
08 2
sonucun ikinci rakamı
4
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
2 2
4 5 241
41’den, 2’nin çapraz çarpımını çıkaralım.
2
2
2×2 =4
41 – 4 = 37
|
37 4
32 8
sonucun ikinci rakamı
5
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
|
2 2. 8
4 5 21. 50
50’den sonucun son iki rakamının(28) çapraz çarpımını çıkarıp, bölene bölelim.
28
28
2×8 + 8×2 = 32
50 – 32 = 18
|
||||
|
||||
18 4
8 2
sonucun ikinci rakamı
10
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
2 2, 8 2
4 5 21, 0100
100’den, sonucun son üç rakamının(282) çapraz çarpımını çıkarıp, bölene bölelim.
282
282
2×2 + 8×8 +2×2 =72
100 – 72 = 28
|
28 4
20 5
sonucun ikinci rakamı
8
bir sonraki sayının önüne yazılacak.
2 2, 8 2 5
4 5 21, 0080
İşlem istenilen basamağa kadar uzatılabilir. Buraya kadar yapılan işlemler sonucunda
= 22, 825 olur.
Bundan sonraki örneklerde yapılan işlemlerde ara basamaklar gösterilmeyecektir. Bu da ara basamakları zihinden yaptığımızda sonucun ne kadar hızlı bulunacağını gösterir. Önemli olan bu ara basamaklardaki hızınızı arttırmaktır. Ara basamakları sizde zihninizden yaparak örnekleri tek tek inceleyin.
Örnek 5:
= ? ( Virgülden sonra üç basamağa kadar )
5 3, 3 5 7
10 28 3447 80120
O halde 
= 53, 357’dir.
Örnek 6:
= ?
5 2 3 8, 0 0
10 27 2443 9646 5464
O halde = 5238’dir.
Örnek 7:
= ?
8 5 6 2, 0 0
16 73 93130 9758 2404
O halde 
= 8562’dir.
Örnek 8:
= ?
8 3 1 1, 0 0
16 69 5027 2207 2101
O halde = 8311’dir.
Örnek 9:
= ?
2 4 1 2 3, 0 0 0
4 5 1821 1931 2911 1209
O halde 
= 24123’tür.
Örnek 10:
= ?
7 2 4 1, 8 0 2 7
14 52 3464 43137 50106 130
O halde = 7241, 8027’dir.
Örnek 11:
= ?
3, 6 9 0 5
6 13, 46102 120120 90
O halde = 3,6905’tir.
Örnek 12:
= ?
4, 2 7 3 3 2
6 18, 2266 7193 84101
O halde = 4, 27332’dir.
Örnek 13:
= ?
4 2 7 1, 5 7 1 8
8 18 2264 46103 102126
O halde = 4271,5718’dir.
Örnek 14:
= ?
9 0 3, 4 4 2 8
18 81 0662 8089, 80200
O halde = 903, 4428’dir.
Örnek 15:
= ?
8 9, 7 3 5
16 80 165212, 194201
O halde 
= 89, 735’tir.
Örnek 16:
= ?
0, 0 3 0 1 9 9 5
6 0, 00 09 12 6061 62140
O halde 
= 0, 0301995’tir.
Örnek 17:
= ?
3, 7 6 5 6 3 4
6 14, 5198 130160180 180170
O halde = 3, 765634’tür.
Örnek 18:
= ?
0, 5 6 6 6 1 2
10 0, 32 71110 145130120 180
O halde 
= 0, 566612’dir.
Örnek 19:
= ?
3, 7 1 5 4 5 5 9 3
6 13, 4860 54106111 152198242 221
O halde = 3, 71545593’tür.
Örnek 20:
= ?
0, 0 0 1 6 2 4 8
2 0, 00 00 02 1644 4080120
O halde = 0, 0016248
Bir Sayının Karekökünü Yaklaşık Olarak Tahmin Etme:
Örnek : 
= ?
Öncelikle karesi 70’e en yakın ve küçük sayıyı buluyoruz. 82 = 64, 92 = 81 olduğu için 8’i alacağız. Daha sonra karekök içindeki sayıyı, bulduğumuz bu sayıya böleceğiz.
70¸ 8 = 8,75
8 ile bulduğumuz sonucun aritmetik ortalamasını yuvarlayıp, yaklaşık karekökü buluruz.
( 8 + 8,75 ) / 2 = 8, 375
Sonucu yuvarlarsak 70, yaklaşık olarak 8,37’ye eşit olur.
Örnek :
= ?
Karesi 30 ‘a yakın sayı, 5’tir.
30¸5 = 6
Aritmetik ortalama, (5 + 6 ) / 2 = 5,5 olur.
Yuvarlarsak , yaklaşık olarak 5, 49’dur.
Örnek :
= ?
Basamak sayısı ikiden fazla ise karekk içindeki sayı sağ baştan başlanarak ikişer ikişer gruplandırılır. Buradaki grup sayısı karekökün tam kısmının basamak sayısını verir.
12 42
Karesi sol baştaki gruba en yakın sayı bulunup diğer gruplar için 0 kullanılır. Karesi 12’ye en yakın sayı 3’tür. Sağ tarafta bir grup kaldığı için bir önceki işlemde bulduğumuz sayının yanına bir 0 yazarız. Bu da bize 30 sayısını verir.
1242’yi, 30’a bölüp, bölümle, 30’un aritmetik ortalamasını yuvarlayıp karekökü buluruz.
1242¸30 = 41,4
Aritmetik ortalama, (30 + 41,4 ) / 2 = 35, 7
yaklaşık olarak 35’tir.
Örnek :
= ?
9 35 24
Karesi 9’a en yakın sayı 3’tür.
9 35 24
3 0 0
93524 ¸ 300 = 311,7
Aritmetik ortalama, (300 + 311,7 ) / 2 = 305,85
yaklaşık olarak 305,8’dir.
Eğer karekök içindeki sayı, herhangi bir sayının karesinden az ve sayının karesine yakınsa, karesi, karekök içindeki sayıdan büyük ve yakın olan sayı kullanılır.
Örnek :
= ?
2450, 50’nin karesine yakındır. Sayıyı gruplandırırsak
24 50
5 0
2450 ¸50 = 49
Aritmetik ortalama, ( 50 + 49 ) / 2 = 49,5
Bu durumda 
yaklaşık olarak 49,5’e eşittir.
Karekök Tahmininde Yeni Bir Yaklaşım: ( Daha fazla hassassiyet ile )
Örnek : 
= ?
Karesi 39’a en yakın sayı 6’dır.
39’u 6,2 alalım.
39 ¸ 6,2 = 6,29
6,2 ile 6,29’un aritmetik ortalaması, (6,2 + 6,29 ) / 2 = 6,245
39’u bulduğumuz sayıya tekrar bölelim.
39 ¸ 6,245 = 6,244
6,244 ile 6,245’in aritmetik ortalaması, (6,244 + 6,245 ) / 2 = 6,2445’tir.
39’u bulduğumuz sayıya tekrar bölelim.
39 ¸ 6,2445 = 6,245496
O halde 
yaklaşık olarak 6,245496’dır.
Örnek :
= ?
Karesi 89’a en yakın sayı 9’dur. 89’u 9,4 alalım.( Virgülden sonraki seçim tamamen keyfidir.)
89 ¸ 9,4 = 9,46
9,4 ile 9,49’nın aritmetik ortalaması, (9,4 + 9,46 ) / 2 = 9,43
89’u bulduğumuz sayıya tekrar bölelim.
89 ¸ 9,43 = 9,437
9,437 ile 9,43’ün aritmetik ortalaması, (9,437 + 9,43 ) / 2 = 9,4335’tir.
O halde yaklaşık olarak 9,4335’tir.
Örnek :
= ?
Karesi 129’a en yakın sayı 11’dir. 129’u 11,3 alalım.( Virgülden sonraki seçim tamamen keyfidir.)
129 ¸ 11,3 = 11,415
11,3 ile 11,415’in aritmetik ortalaması, (11,3 + 11,415 ) / 2 = 11,3575
129’u bulduğumuz sayıya tekrar bölelim.
129 ¸ 11,3575 = 11,358
11,358 ile 11,3575’in aritmetik ortalaması, (11,358 + 11,3575 ) / 2 = 11,357’tir.
O halde yaklaşık olarak 11,357’dir.
hazırlayan: ayhan dever
