AKILDAN KARE ALMA YÖNTEMLERİ

İlk yaklaşımımızda ( x+y )² = x² + 2xy + y² özdeşliğini kullanacağız.

Buradan anlaşılıyorki: bir toplamın karesini bulmak için, birinci sayının karesini, birinci sayı ile ikinci sayının çarpımının iki katını ve ikinci sayının karesini toplarız. Şimdi bunu bir sayının karesini bulmak için nasıl kullanacağımızı örneklerle anlatmaya çalışacağım.

Örnek :

21² = ?

( / ) işareti sonucu kısımlara ayırsın. Sonucun birler basamağındaki rakamı, toplamın ikinci sayısının karesinin birler basamağı, onlar basamağındaki rakamı, toplanan sayıların çarpımının iki katı ve bir önceki işlem sonucundaki sonucun onlar basamağı toplamının birler basamağı belirler. Verilen ifadeyi yeni duruma uyarlarsak;

(xy)² à( x / y )² = x² / 2xy / y² ( Kısacası, sağ taraftaki iki kısmın birler basamağını, sol kısımdaki ifadenin ise tamamını kullanacağız.)

21² à ( 2 / 1 )² =2² / 2 x 2 x 1 / 1²

4 / 4 / 1

O halde 21² = 441’dir.

Örnek :

43² = ?

(43) ² à ( 4 / 3 ) ²

4² / 2 x 4 x 3 / 3² ( Son iki kısım rakam ifade edecekti. Bu yüzden birler basamağı dışındaki kısımlar bir soldaki sayıya elde olarak ilave edilecek. )

16 / 24 / 9

16+2 / 4 / 9

18 / 4 / 9

O halde 43² = 1849’dur.

Örnek :

84² = ?

(84) ² à ( 8 / 4 ) ²

8² / 2 x 8 x 4 / 4²

64 / 64 / 16

 

64 / 64 +1 / 6

64 / 65 / 6

 

64 +6 / 5 / 6

70 / 5 / 6

O halde 84² = 7056

Örnek :

123² = ?

(123) ² à ( 12 / 3 ) ²

12² / 2 x 12 x 3 / 3²

144 / 72 / 9

144 + 7 / 2 / 9

151 / 2 / 9

O halde 123² = 15129’dur.

Örnek :

452² = ?

(452)² à ( 45 / 2 ) ²

45² / 2 x 45 x 2 / 2²

2025 / 180 / 4

2025+18 / 0 / 4

2043 / 0 / 4

O halde 452² = 204304’tür.

Sayı büyüdükçe işlemleri yapmak biraz zaman alıyor. Çarpma konusunda anlattığımız taban kavramı bu durumda yardımımıza yetişiyor.

Sayı 10’un kuvvetlerine yakın ve 10’un kuvvetlerinden küçükse:

Örnek 1:

8² = ? ( Taban 10 )

Verilen sayının tabandan farkı (sapma), 8 –10 = -2’dir. Bulduğumuz sayının karesini alalım. (-2) ² = 4 (son kısım)

Verilen sayı ile sapmayı toplayalım. 8 + (-2) = 6 (ilk kısım )

O halde 8² = 64’tür.

Örnek 2:

9² = ? ( Taban 10 )

9 – 10 = -1

( -1) ² = 1 ( son kısım )

9 + ( -1) = 8 ( ilk kısım )

O halde 9² =81’dir.

Örnek 3:

97² = ? ( Taban 100 )

97 – 100 = -3

(-3) ² = 9 , tabanda iki sıfır olduğu için, 09 ( son kısım )

97 + ( -3 ) = 94 ( ilk kısım )

O halde 97² = 9409’dur.

Örnek 4 :

996² = ? ( Taban 1000 )

996 – 1000 = -4

(-4) ² = 16, tabanda üç sıfır olduğu için, 016 (son kısım )

996 + (-4 ) = 992 ( ilk kısım )

996² = 992016’dır.

Örnek 5 :

9997² = ? ( Taban 10000 )

9997 –10000 = -3

(-3) ² = 9, tabanda dört sıfır olduğu için, 0009 ( son kısım )

9997 + (-3 ) = 9994 ( ilk kısım )

9997² = 99940009’dur.

Örnek 6 :

89² = ? ( Taban 100 )

89 – 100 = -11

(-11) ² = 121, tabanda iki sıfır olduğu için 121’in sağ baştan iki basamağını alıp diğer kısmı bir sonraki işleme ekleyeceğiz.

1 (bir sonraki işleme eklenecek ) 21 (son kısım)

89 + (-11) = 78, bir önceki işlemdeki elde 1’i de ilave edersek, 78 + 1 = 79 ( ilk kısım )

O halde 89² = 7921’dir.

Sayı 10’un kuvvetlerine yakın ve 10’un kuvvetlerinden büyükse:

Örnek 1:

14² = ? ( Taban 10 )

Burada sayının tabandan farkını, sayıya ekleyeceğiz.( Diğer kısımlar, 1. Durumla aynı )

14 – 10 = 4

4² = 16, tabanda bir sıfır olduğu için 16’nın sağ baştan bir basamağını alıp, diğer kısmı bir sonraki işleme ilave edeceğiz.

1 (bir sonraki işleme eklenecek ), 6 (son kısım)

14 + 4 = 18

18 + 1 = 19 ( ilk kısım )

O halde 14² z.

Örnek 2:

113² = ? ( Taban 100 )

113 – 100 = 13

13² =169 tabanda iki sıfır olduğu için

1 ( bir sonraki işleme eklenecek), 69 ( son kısım )

113 + 13 = 126

126 + 1 = 127 ( ilk kısım )

O halde 113² = 12769’dur.

Örnek 3:

10014² = ? ( Taban 10000 )

10014 – 10000 = 14

14² = 196, tabanda dört sıfır olduğu için, 0196 (son kısım )

10014 + 14 = 10028 ( ilk kısım )

O halde 10014² = 100280196’dır.

Sayı çarpma konusunda anlattığımız gibi 10’un kuvvetlerinin katları şeklinde yazılabiliyorsa :

Örnek 1 :

32² = ? ( Taban 3 x 10 )

30 – 32 = (-2)

(-2)² = 4 ( son kısım )

32 + 2 = 34

34 x 3 = 102 ( ilk kısım )

O halde 32² = 1024’tür.

Örnek 2 :

388² = ? ( Taban 4 x 100 )

388 – 400 = (-12)

(-12)² = 144 à 1( bir sonraki işleme eklenecek. ) 44 ( son kısım )

388 – 12 = 376

376 x 4 = 1504

1504 + 1 = 1505 ( ilk kısım )

O halde 388² = 150544’tür.

Örnek 3:

491² = ? ( Taban 5 x 100 )

491 – 500 = (-9)

(-9)² = 81, tabanda iki sıfır olduğu için, 81 ( son kısım )

491 – 9 = 482

482 x 5 = 2410 ( ilk kısım )

O halde 491² = 241081’dir.

Örnek 4:

67² = ? ( Taban 7 x 10 )

67 – 70 = (-3)

(-3)² = 9 ,tabanda bir sıfır olduğu için, 9 ( son kısım )

67 – 3 = 64

64 x 7 = 448 ( ilk kısım )

O halde 67² = 4489 ‘dur.

Örnek 5:

412² = ? ( Taban 4 x 100 )

412 – 400 = 12

12² = 144 ( son kısım 44, elde1 )

412 + 12 = 424

424 x 4 = 1696

1696 + 1 = 1697 ( ilk kısım )

O halde 412² = 169744’tür.

Örnek 6:

5009² = ? ( Taban 5 x 1000 )

5009 – 5000 = 9

9² = 81, tabanda üç sıfır olduğu için, 081 ( son kısım )

5009 + 9 = 5018

5018 x 5 = 25090 ( ilk kısım )

O halde 5009² = 25090081’dir.

Örnek 7:

1000012² = ? ( Taban 1000000)

1000012 – 1000000 = 12

12² = 144, tabanda altı sıfır olduğu için, 000144 ( son kısım )

1000012 + 12 = 1000024 ( ilk kısım )

O halde 1000012² = 1000024000144’tür.

5 ile biten sayıların karesi :

Sonucun ilk kısmını bulmak için verilen sayının birler basamağı dışında kalan kısım bir fazlasıyla çarpılır. Son kısım ise her zaman 25’tir.

Örnek 1 :

15² = ?

15’in birler basamağı dışında kalan kısmı 1’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

1 x ( 1 + 1 ) = 2 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 15 ² = 225’tir.

Örnek 2:

25² = ?

25’in birler basamağı dışında kalan kısmı 2’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

2 x ( 2 + 1 ) = 6 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 25² = 625’tir.

Örnek 3 :

35² = ?

35’in birler basamağı dışında kalan kısmı 3’tür. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

3 x ( 3 + 1 ) = 12 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 35² = 1225’tir.

Örnek 4 :

45² = ?

45’in birler basamağı dışında kalan kısmı 4’tür. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

4 x ( 4 + 1 ) = 20 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 45² = 2025’tir.

Örnek 5 :

65² = ?

65’in birler basamağı dışında kalan kısmı 6’dır. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

6 x ( 6 + 1 ) = 42 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 65² = 4225’tir.

Örnek 6 :

95² = ?

95’in birler basamağı dışında kalan kısmı 9’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

9 x ( 9 + 1 ) = 90 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 95² = 9025’tir.

Örnek 7 :

105² = ?

105’in birler basamağı dışında kalan kısmı 10’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

10 x ( 10 + 1 ) = 110 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 105² = 11025’tir.

Örnek 8 :

125² = ?

125’in birler basamağı dışında kalan kısmı 12’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

12 x ( 12 + 1 ) = 156 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 125² = 15625’tir.

Örnek 9 :

165² = ?

165’in birler basamağı dışında kalan kısmı 16’dır. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

16 x ( 16 + 1 ) = 272 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 165² = 27225’tir.

Örnek 10 :

205² = ?

205’in birler basamağı dışında kalan kısmı 20’dir. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

20 x ( 20 + 1 ) = 420 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 205² = 42025’tir.

Örnek 11 :

995² = ?

995’in birler basamağı dışında kalan kısmı 99’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

99 x ( 99 + 1 ) = 9900 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 995² = 990025’tir.

Örnek 12 :

9995² = ?

9995’in birler basamağı dışında kalan kısmı 999’dur. Bu kısım bir fazlasıyla çarpılırsa,

999 x ( 999 + 1 ) = 999000 ( ilk kısım )

25 ( son kısım )

O halde 9995² = 99900025’tir.

41ile 59 arasındaki sayıların karesi:

Sonuç iki kısımdan oluşur. İlk kısım, verilen sayıdan 25 çıkarılarak, son kısım ise verilen sayıdan 50 çıkarılıp, karesinin alınıp, iki basamaklı olarak ifade edilmesiyle bulunur.

Örnek :

47² = ?

47 – 25 = 22 ( ilk kısım )

50 – 47 = 3

3² = 9, iki basamaklı ifade edersek, 09 ( son kısım )

O halde 47² = 2209’dur.

Örnek :

54² = ?

54 – 25 = 29 ( ilk kısım )

50 – 54 = (-4)

(-4)² = 16 ( son kısım )

O halde 54² = 2916’dır.

1 ile başlayan iki basamaklı sayıların karesi :

Verilen sayını birler basamağındaki rakamla, sayıyı toplayın. Verilen sayının bir ler basamağındaki rakamın karesini bir önceki işlemde elde ettğimiz sayının sonuna bir basamaklı olarak ekleyin. ( Sonuç iki basamaklı ise onlar basamağındaki rakamı ilk baştaki işlemin sonuyla toplayın.)

Örnek :

14² = ?

14 + 4 = 18

4² = 16 ( sonuç iki basamaklı olduğu için onlar basamağındaki rakam( 1) bir önceki işlemin sonucuyla toplanır.

18 + 1 =19 ( ilk kısm )

6 ( son kısım )

O halde 14² = 196’dır.

Örnek :

18² = ?

18 + 8 = 26

8² = 64 ( sonuç iki basamaklı olduğu için onlar basamağındaki rakam(6) bir önceki işlemin sonucuyla toplanır.

26 + 6 =32 ( ilk kısm )

4 ( son kısım )

O halde 18² = 324’tür.

5 ile başlayan iki basamaklı sayıların karesi :

Sonucun ilk kısmı, verilen sayının birler basamağındaki rakamın 25 fazlasıdır. Son kısım ise verilen sayının birler basamağındaki rakamın karesidir.

Örnek :

56² = ?

6 + 25 = 31 (ilk kısım )

6² = 36 ( son kısım )

O halde 56² = 3136’dır.

Örnek :

59² = ?

9 + 25 = 34 ( ilk kısım )

9² = 81 ( son kısım )

O halde 59² = 3481’dir.

9 ile başlayan iki basamaklı sayıların karesi :

1. Verilen sayıyı 100’den çıkarın.

2. Verilen sayıdan, 1.işlemin sonucunu çıkarın. Bu sonucun ilk kısmını oluşturur.

3. 1.işlemin sonucunun iki basamaklı hali, işlemin sonucunun son kısmını oluşturur.

Örnek :

94² = ?

1. 100 – 94 = 6

2. 94 – 6 = 88 ( ilk kısım )

3. 6² = 36 ( son kısım )

O halde 94² = 8836’dır.

Örnek :

97² = ?

1. 100 – 97 = 3

2. 97 – 3 = 94 ( ilk kısım )

3. 3² = 9, iki basamaklı ifade edeceğimiz için,09 ( son kısım )

O halde 97² = 9409’dur.

1 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Verilen sayının bir eksiğinin karesini alın.

2. Verilen sayının bir eksiğinin iki katıyla, 1. işlemin sonucunu toplayın.

3. Sonuca bir ekleyin.

Örnek :

41² = ?

41 – 1 = 40

40² = 1600

40 x 2 = 80

1600 + 80 = 1680

1680 + 1 = 1681

O halde 41² = 1681’dir.

Örnek :

81² = ?

81 – 1 = 80

80² = 6400

80 x 2 = 160

6400 + 160 = 6560

6560 + 1 = 6561

O halde 81² = 6561’dir.

2 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Son rakam 4’tür.

2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 4 katı ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )

3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın karesi

Basamakları şekildeki gibi kutularla gösterirsek, herbir kutuya kaç rakam yazılacağını daha rahat görebilirsiniz. Herbir kutuya bir rakam yazılacak ve kutuya ait işlemler gösterilmiştir.

4

3 2 1

Örnek :

52² = ?

1. Son rakam 4’tür.

4

2. 5 x 4 = 20 ( 0 yazılacak, 2 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

0

4

3. 5² = 25, bir önceki işlemden 2 elde, 25 + 2 = 27

2

7

0

4

O halde 52² = 2704’tür.

Örnek :

72² = ?

1. Son rakam 4’tür.

4

2. 7 x 4 = 28 ( 8 yazılacak, 2 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

8

4

3. 7² = 49, bir önceki işlemden 2 elde, 49 + 2 = 51

5

1

8

4

O halde 72² = 5184’tür.

3 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Son rakam 9’tür.

2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 6 katı ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )

3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın karesi

9

3 2 1

Örnek :

63² = ?

1. Son rakam 9’dur.

9

2. 6 x 6 = 36 ( 6 yazılacak, 3 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

6

9

3. 6² = 36, bir önceki işlemden 3 elde, 36 + 3 = 39

3

9

6

9

O halde 63² = 3969’dur.

Örnek :

93² = ?

1. Son rakam 9’dur.

9

2. 9 x 6 = 54 ( 4 yazılacak, 5 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

4

9

3. 9² = 81, bir önceki işlemden 5 elde, 81 + 5 = 86

8

6

4

9

O halde 93² = 8649’dur.

4 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Son rakam 6’dır. ( 4’ün karesi 16 olduğu için, 6 yazılır, 1 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )

2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 8 katına bir önceki işlemdeki 1’i ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )

3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın karesini alın.

6

3 2 1

Örnek :

54² = ?

1. Son rakam 6’dır.

6

2. 5 x 8 = 40

40 + 1 = 41 ( 1 yazılacak, 4 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

1

6

3. 5² = 25, bir önceki işlemden 4 elde, 25 + 4 = 29

2

9

1

6

O halde 54² = 2916’dır.

Örnek :

84² = ?

1. Son rakam 6’dır.

6

2. 8 x 8 = 64

64 + 1 = 65 ( 5 yazılacak, 6 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

5

6

3. 8² = 64, bir önceki işlemden 6 elde, 64 + 6 = 70

7

0

5

6

O halde 84² = 7056’dır.

6 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Son rakam 6’dır. ( 6’ün karesi 36 olduğu için, 6 yazılır, 3 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )

2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 2 katına bir önceki işlemdeki 3’ü ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )

3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.

6

3 2 1

Örnek :

76² = ?

1. Son rakam 6’dır.

6

2. 7 x 2 = 14

14 + 3 = 17 ( 7 yazılacak, 1 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

7

6

3. 7 x ( 7 + 1 ) = 56, bir önceki işlemden 1 elde, 56 + 1 = 57

5

7

7

6

O halde 76² = 5776’dır.

Örnek :

36² = ?

1. Son rakam 6’dır.

6

2. 3 x 2 = 6

6 + 3 = 9

9

6

3. 3 x ( 3 + 1 ) = 12

1

2

9

6

O halde 36² = 1296’dır.

7 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Son rakam 9’dur. ( 7’ün karesi 49 olduğu için, 9 yazılır, 4 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )

2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 4 katına bir önceki işlemdeki 4’ü ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )

3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.

9

3 2 1

Örnek :

37² = ?

1. Son rakam 9’dur.

9

2. 3 x 4 = 12

12 + 4 = 16 ( 6 yazılacak, 1 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

6

9

3. 3 x ( 3 + 1 ) = 12, bir önceki işlemden 1 elde, 12 + 1 = 13

1

3

6

9

O halde 37² = 1369’dur.

Örnek :

67² = ?

1. Son rakam 9’dur.

9

2. 6 x 4 = 24

24 + 4 = 28 ( 8 yazılacak, 2 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

8

9

3. 6 x ( 6 + 1 ) = 42, bir önceki işlemden 2 elde, 42 + 2 = 44

4

4

8

9

O halde 67² = 4489’dur.

8 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Son rakam 4’tür. ( 8’ün karesi 64 olduğu için, 4 yazılır, 6 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )

2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 6 katına bir önceki işlemdeki 6’yı ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )

3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.

4

3 2 1

Örnek :

58² = ?

1. Son rakam 4’tür.

4

2. 5 x 6 = 30

30 + 6 = 36 ( 6 yazılacak, 3 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

6

4

3. 5 x ( 5 + 1 ) = 30, bir önceki işlemden 3 elde, 30 + 3 = 33

3

3

6

4

O halde 58² = 3364’tür.

Örnek :

88² = ?

1. Son rakam 4’tür.

4

2. 8 x 6 = 48

48 + 6 = 54 ( 4 yazılacak, 5 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

4

4

3. 8 x ( 8 + 1 ) = 72, bir önceki işlemden 5 elde, 72 + 5 = 77

7

7

4

4

O halde 88² = 7744’tür.

9 ile biten iki basamaklı sayıların karesi :

1. Son rakam 1’dir. ( 9’ün karesi 81 olduğu için, 1 yazılır, 8 elde olarak bir sonraki işleme eklenir. )

2. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamın 8 katına bir önceki işlemdeki 8’i ekleyin ( birler basamağındaki rakam yazılacak, diğer kısımlar elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek. )

3. Verilen sayının onlar basamağındaki rakamı, bir fazlasıyla çarpın.

1

3 2 1

Örnek :

39² = ?

1. Son rakam 1’dir.

1

2. 3 x 8 = 24

24 + 8 = 32 ( 2 yazılacak, 3 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

2

1

3. 3 x ( 3 + 1 ) = 12, bir önceki işlemden 3 elde, 12 + 3 = 15

1

5

2

1

O halde 39² = 1521’dir.

Örnek :

69² = ?

1. Son rakam 1’dir.

1

2. 6 x 8 = 48

48 + 8 = 56 ( 6 yazılacak, 5 elde olarak bir sonraki işleme ilave edilecek )

6

1

3. 6 x ( 6 + 1 ) = 42, bir önceki işlemden 5 elde, 42 + 5 = 47

4

7

6

1

O halde 69² = 4761’dir.

3’lerden oluşan sayıların karesi :

1. Basamak sayısının bir eksiği kadar 1

2. 0

3. Basamak sayısının bir eksiği kadar 8

4. 9

yanyana yazılır.

Örnek :

33333² = ?

Basamak sayısı 5‘tir.

O halde 33333²=1111088889’dur.

Örnek :

3333² = ?

Basamak sayısı 4’tür.

O halde 33333²=11108889’dur.

6’lardan oluşan sayıların karesi

1. Basamak sayısının bir eksiği kadar 4

2. 3

3. Basamak sayısının bir eksiği kadar 5

4. 6

yanyana yazılır.

Örnek :

66² = ?

Basamak sayısı 2’dir.

O halde 66²=4356’dır.

Örnek :

6666² = ?

Basamak sayısı 4’tür.

O halde 6666²=44435556’dır.

1’ lerden oluşan sayıların karesi

1’ den başlayarak basamak sayısı kadar sayı 1’er 1’er artırılır ve sonra 1’er 1’er düşürülerek 1’e kadar sayılar yanyana yazılır.

Örnek :

111² = ?

Basamak sayısı 3’tür.

O halde 111²=12321’dir.

Örnek :

11111² = ?

Basamak sayısı 5’dir.

O halde 111²=123454321’dir.

9’lardan oluşan sayıların karesi

1. Basamak sayısının bir eksiği kadar 9

2. 8

3. Basamak sayısının bir eksiği kadar 0

4. 1

yanyana yazılır.

Örnek :

999² = ?

Basamak sayısı 3’tür.

O halde 999² = 998001’dir.

Örnek :

99999² = ?

Basamak sayısı 5’tir.

O halde 99999² = 9999800001’dir.

100’lü sayıların karesi

1. Son iki basamak verilen sayının son iki basamağının karesidir.(elde varsa ikinci işleme eklenecek)

2. İlk üç basamak ise sayının kendisiyle son iki basamağın ve 1. işlemdeki eldenin toplamıdır.

2 1

Örnek :

108² = ?

1. (08) ² = 64

6

4

2. 108 + 08 = 116

1

1

6

6

4

O halde 108² = 11664’tür.

Örnek :

114² = ?

1. 14² = 196 ( 96 yazılacak, 1 elde olarak bir sonraki işleme eklenecek.)

9

6

2. 114 + 14 + 1 = 129

1

2

9

9

6

O halde 114² = 12996’dır.

500’lü Sayıların Karesi:

Sonuç iki kısımdan oluşur. İlk kısım sayının 250’den çıkarılmasıyla bulunur. Son kısım ise sayının yüzler basamağı (5) dışındaki kısmının karesinin üç basamaklı olarak ifade edilmesiyle bulunur. Bu yapılırken kalan sayının karesi üç basamaktan küçükse, önüne sıfır eklenerek üç basamağa tamamlanır. Kalan sayının karesi üç basamaktan büyükse, yüzler basamağından sonraki basamağı, ilk kısma ilave edilir.

Örnek:

508² = ?

508 – 250 = 258 ( ilk kısım )

08² = 064 ( üç basamaklı olarak ifadesi )

O halde 508² = 258064’tür.

Örnek :

521² = ?

521 – 250 = 271 ( ilk kısım )

21² = 441 ( son kısım )

O halde 521² = 271441’dir.

Örnek :

542² = ?

542 – 250 = 292 ( ilk kısım )

42² = 1764 ( 1, ilk kısıma eklenip, son kısım, 764 alınır. )

292 + 1 = 293 ( ilk kısım )

764 ( son kısım )

O halde 542² = 293764’tür.

Örnek :

565² = ?

565 – 250 = 315 ( ilk kısım )

65² = 4225 ( 4, ilk kısıma eklenip, son kısım, 225 alınır. )

315 + 4 = 319 ( ilk kısım )

225 ( son kısım )

O halde 565² = 319225’tir.

1000 ile 1099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 1’dir.

2. Verilen sayıyı 1000’den çıkarıp, iki katını alın.

3. Verilen sayıyı 1000’den çıkarıp, karesini alın.

1 2 3

Örnek :

1009² = ?

1. İlk kısım 1’dir.

1

2. 1009 –1000 = 9

9 x 2 = 18 (üç basamak ayrıldığı için 018 )

1

0

1

8

3. 1009 – 1000 = 9

9² = 81 ( üç basamak ayrıldığı için 081 )

1

0

1

8

0

8

1

O halde 1009² = 1018081’dir.

Örnek :

1016² = ?

1. İlk kısım 1’dir.

1

2. 1016 –1000 = 16

16 x 2 = 32 (üç basamak ayrıldığı için 032 )

1

0

3

2

3. 1016 – 1000 = 16

16² = 256 ( üç basamak ayrıldığı için 256 )

1

0

3

2

2

5

6

O halde 1016² = 1032256’dır.

2000 ile 2099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 4’tür.

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 4 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

4

1 2 3

Örnek :

2007² = ?

1. İlk kısım 4’tür.

4

2. 07 x 4 = 28 (üç basamak ayrıldığı için 028 )

4

0

2

8

3. 07 x 07 = 49 ( üç basamak ayrıldığı için 049 )

4

0

2

8

0

4

9

O halde 2007² = 4028049’dur.

Örnek :

2041² = ?

1. İlk kısım 4’tür.

4

2. 41 x 4 = 164

4

1

6

4

3. 41 x 41 = 1681 ( üç basamak ayrıldığı için 681’i yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )

164 + 1 = 165

4

1

6

5

6

8

1

O halde 2041² = 4165681’dir.

3000 ile 3099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 9’dur.

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 6 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

9

1 2 3

Örnek :

3006² = ?

1. İlk kısım 9’dur.

9

2. 06 x 6 = 36 (üç basamak ayrıldığı için 036 )

9

0

3

6

3. 06 x 06 = 36 ( üç basamak ayrıldığı için 036 )

9

0

3

6

0

3

6

O halde 3006² = 9036036’dır.

Örnek :

3051² = ?

1. İlk kısım 9’dur.

9

2. 51 x 6 = 306

9

3

0

6

3. 51 x 51 = 2601 ( üç basamak ayrıldığı için 601’i yazıp, 2’yi bir önceki sayıya ekliyoruz. )

306 + 2 = 308

9

3

0

8

6

0

1

O halde 3051² = 9308601’dir.

4000 ile 4099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 16’dır.

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 8 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

1

6

1 2 3

Örnek :

4016² = ?

1. İlk kısım 16’dır.

1

6

2. 16 x 8 = 128

1

6

1

2

8

3. 16 x 16 = 256

1

6

1

2

8

2

5

6

O halde 4016² = 16128256’dır.

Örnek :

4060² = ?

1. İlk kısım 16’dır.

1

6

2. 60 x 8 = 480

1

6

4

8

0

3. 60 x 60 = 3600 ( üç basamak ayrıldığı için 600’ü yazıp, 3’ü bir önceki sayıya ekliyoruz. )

480 + 3 = 483

1

6

4

8

3

6

0

0

O halde 4060² = 16483600’dür.

5000 ile 5099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 25’dir.

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 10 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

2

5

1 2 3

Örnek :

5021² = ?

1. İlk kısım 25’tir.

2

5

2. 21 x 10 = 210

2

5

2

1

0

3. 21 x 21 = 441

2

5

2

1

0

4

4

1

O halde 5021² = 25210441’dir.

Örnek :

5085² = ?

1. İlk kısım 25’tir.

2

5

2. 85 x 10 = 850

2

5

8

5

0

3. 85 x 85 = 7225 ( üç basamak ayrıldığı için 225’i yazıp, 7’yi bir önceki sayıya ekliyoruz. )

850 + 7 = 857

2

5

8

5

7

2

2

5

O halde 5085² = 25857225’tir.

6000 ile 6099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 36’dır. ( Elde varsa 37 )

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 12 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

3

6-7

1 2 3

Örnek :

6016² = ?

1. İlk kısım 36’dır.

3

6

2. 16 x 12 = 192

3

6

1

9

2

3. 16 x 16 = 256

3

6

1

9

2

2

5

6

O halde 6016² = 36192256’dır.

Örnek :

6080² = ?

1. İlk kısım 36’dır.

3

6

2. 80 x 12 = 960

3

6

9

6

0

3. 80 x 80 = 6400 ( üç basamak ayrıldığı için 400’ü yazıp, 6’yı bir önceki sayıya ekliyoruz. )

960 + 6 = 966

3

6

9

6

6

4

0

0

O halde 6080² = 36966400’dür.

7000 ile 7099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 49’dur. ( Elde varsa 50 )

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 14 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

1 2 3

Örnek :

7008² = ?

1. İlk kısım 49’dur.

4

9

2. 08 x 14 = 112

4

9

1

1

2

3. 08 x 08 = 64 ( üç basamak ayrıldığı için, 064 )

4

9

1

1

2

0

6

4

O halde 7008² = 49112064’tür.

Örnek :

7090² = ?

1. İlk kısım 49’dur.

4

9

2. 90 x 14 = 1260 ( üç basamak ayrıldığı için 260’ı yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )

49 + 1 = 50

5

0

2

6

0

3. 90 x 90 = 8100 ( üç basamak ayrıldığı için 100’ü yazıp, 8’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )

260 + 8 = 268

5

0

2

6

8

1

0

0

O halde 7090² = 50268100’dür.

8000 ile 8099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 64’tür. ( Elde varsa 65 )

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 16 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

1 2 3

Örnek :

8012² = ?

1. İlk kısım 64’tür.

6

4

2. 12 x 16 = 192

6

4

1

9

2

3. 12 x 12 = 144

6

4

1

9

2

1

4

4

O halde 8012² = 64192144’tür.

Örnek :

8085² = ?

1. İlk kısım 64’tür.

6

4

2. 85 x 16 = 1360 ( üç basamak ayrıldığı için 360’ı yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )

64 + 1 = 65

6

5

3

6

0

3. 85 x 85 = 7225 ( üç basamak ayrıldığı için 225’i yazıp, 7’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )

360 + 7 = 367

6

5

3

6

7

2

2

5

O halde 8085² = 65367225’tir.

9000 ile 9099 arasındaki Sayıların Karesi:

1. İlk kısım 81’dir. ( Elde varsa 82 )

2. Sonraki üç basamak, verilen sayının son iki basamağının 18 katıdır.

3. Son üç basamak ise verilen sayının son iki basamağının karesidir.

1 2 3

Örnek :

9020² = ?

1. İlk kısım 81’dir.

8

1

2. 20 x 18 = 360

8

1

3

6

0

3. 20 x 20 = 400

8

1

3

6

0

4

0

0

O halde 9020² = 81360400’dür.

Örnek :

9075² = ?

1. İlk kısım 81’dir.

8

1

2. 75 x 18 = 1350 ( üç basamak ayrıldığı için 350’yi yazıp, 1’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )

81 + 1 = 82

8

2

3

5

0

3. 75 x 75 = 5625 ( üç basamak ayrıldığı için 625’i yazıp, 5’i bir önceki sayıya ekliyoruz. )

350 + 5 = 355

8

2

3

5

5

6

2

5

O halde 9075² = 82355625’tir.

KENDİNİZİ DENEYİN !

1- 32² = …………………

2- 56² = …………………

3- 143² = …………………

4- 98² = …………………

5- 994² = …………………

6- 9997² = …………………

7- 99993² = …………………

8- 1004² = …………………

9- 10008² = …………………

10- 493² = …………………

11- 612² = …………………

12- 5007² = …………………

13- 10000014² = …………………

14- 45² = …………………

15- 125² = …………………

16- 365² = …………………

17- 12² = …………………

18- 17² = …………………

19- 19² = …………………

20- 53² = …………………

21- 57² = …………………

22- 93² = …………………

23- 96² = …………………

24- 41² = …………………

25- 71² = …………………

26- 91² = …………………

27- 42² = …………………

28- 72² = …………………

29- 92² = …………………

30- 43² = …………………

31- 73² = …………………

32- 83² = …………………

33- 34² = …………………

34- 54² = …………………

35- 74² = …………………

36- 36² = …………………

37- 46² = …………………

38- 66² = …………………

39- 77² = …………………

40- 87² = …………………

41- 97² = …………………

42- 38² = …………………

43- 78² = …………………

44- 88² = …………………

45- 29² = …………………

46- 59² = …………………

47- 79² = …………………

48- 3333² = …………………

49- 333333² = …………………

50- 33333333² = …………………

51- 6666² = …………………

52- 666666² = …………………

53- 66666666² = …………………

54- 1111² = …………………

55- 111111² = …………………

56- 11111111² = …………………

57- 9999² = …………………

58- 999999² = …………………

59- 99999999² = …………………

60- 108² = …………………

61- 112² = …………………

62- 121² = …………………

63- 1008² = …………………

64- 1012² = …………………

65- 1041² = …………………

66- 2007² = …………………

67- 2014² = …………………

68- 2052² = …………………

69- 3006² = …………………

70- 3011² = …………………

71- 3024² = …………………

72- 4005² = …………………

73- 4014² = …………………

74- 4022² = …………………

75- 5003² = …………………

76- 5012² = …………………

77- 5082² = …………………

78- 6011² = …………………

79- 6026² = …………………

80- 6032² = …………………

81- 7003² = …………………

82- 7014² = …………………

83- 7098² = …………………

84- 8013² = …………………

85- 8042² = …………………

86- 8098² = …………………

87- 9016² = …………………

88- 9043² = …………………

89- 9082² = …………………

90- 9098² = …………………

hazırlayan: ayhan dever