Doç.Dr. Haluk BERKMEN
Tüm insanlarca estetik olduğu kabul görmüş olan bir sayıdan söz etmek isterim. Bu sayı “Altın Oran” olarak bilinen T = 1.618034…şeklinde sürüp giden irrasyonel sayıdır. Bu sayı sadece matematik bir ilgi odağı olmayıp fizik ve dolayısıyla doğa ile de yakından ilgilidir. Altın oran çok eski dönemlerden beri bilinmektedir. Kadim Mısır kültürü ehramların yapısında bu oranı kullanmış, kadim Yunan filozof ve matematikle ilgilenen düşünürler de Altın Oranı onlardan öğrenmiştir. Altın oran mantığı şudur:
Bir doğru parçasını öyle bir noktasından bölün ki tüm uzunluğunun uzun parçaya oranı, uzun parçanın kısa parçaya oranına eşit olsun.Yani,
A B
l—————–l————-l şeklinde bir doğru parçasında (A + B)/A = A/B olsun.
Kolaylık olsun diye A = x ve B = 1 seçelim. Bu durumda x2 = x + 1 olur.
Bu denklemi x2 – x – 1 = 0 şeklinde yazıp köklerini ararsak x(1) = 1.6180339887…ve
x(2) = – 0.6180339887…buluruz. Bu iki kökten pozitif olan x(1)’e büyük T adını verelim.
T irrasyonel bir sayıdır. Yani iki tam sayının oranı olarak gösterilemez. Fakat iki tam sayının oranı kendi üstüne dönüşümlü bir kural dahilinde T sayısına yaklaşır. Bu kuralı Fibonacci dizisinden çıkarırız. Asıl adı Leonardo Pissano olan Fibonacci (1170-1250) İtalyada doğmuş fakat Mısırda büyümüştür. Matematik meraki da o dönemde çok ileri düzeye ulaşmış İslam matematiğinden kaynaklanmıştır.
Fibonacci 1,1 çiftinden başlayarak son iki sayının toplamından yeni bir sayı üretmiş ve bu kendi üstüne dönüşümlü kuralı tekrarlayarak şu diziyi elde etmiştir:
1,1,2, 3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,………….
Bu dizide ard-arda olan iki sayıdan büyüğünü küçüğüne bölerseniz görürsünüz ki T sayısına doğru yakınsar. Örneğin, 233/144 = 1.618055 iken 6765/4181 = 1.618033 olup gittikçe T sayısına doğru yaklaştığımızı görürüz. Fibonacci sayılarına F(n) dersek herhangi peş-peşe bir çift için F(n)/F(n-1) => T sayısına doğru yakınsar fakat asla eşit olmaz. Bu durumun birçok ilginç açılımı vardır:
1- İki Fibonacci sayısının peş-peşe oranı kendi üstüne dönüşümlü bir kural içerir. Bu bakımdan T sayısı sonlu bir sayı olmayıp sonsuza kadar kesirleri sürer gider. Bu “irrasyonel” olma özelliği tüm doğa sabitlerinin ortak özelliğidir.
2- T sayısı “kuadratik” (kareli terim içeren) bir denklemin köküdür. Kareli terim ise kendi üstüne dönüşümlü olduğunda Kaos (karmaşa) yaratır. Doğada birçok oluşum karmaşa içerir.
Altın Oranı iki boyutlu bir dikdörtgene uygulayalım. Öyle bir dikdörtgen bulalım ki uzun kenarı ile kısa kenarının toplamının uzun kenara oranı, uzun kenarın kısa kenara oranına eşit olsun. Gene oranın 1.6180339887… olduğunu görürüz. Eğer bu oranı tekrarlarsak şekildeki gibi bir noktaya doğru yakınsadığını görürüz. ABEF noktalarından geçen kare CFGK noktalarından geçen kareye göre kenarı T kadar daha büyüktür. Aynı oranı defalarca küçülterek tekrarlarsak şekil çok küçük bir kareye doğru yakınsar. BD ve CE köşegenlerinin kesim noktası şeklin odak noktasıdır. İki köşegenin oranı ise gene T sayısıdır.
Doğada bu tür spiral içeren birçok oluşum bulunmaktadır. Hepsi de Altın Oranı içerirler.
Üstte Nautilüs adı verilen bir deniz kabuklusu ve yanında deniz yıldızı. Altta solda ise Altın Oran içeren bir fosil ve sağda bir çiçek.
Doğada estetik duygusu uyandıran diğer sabitler л ve e sayılarıdır. Bunlar da birer irrasyonel sayıdır. Pi sayısı bir dairenin çevresinin çapına bölümüdür. Altta çapı 1 olan bir dairenin çevre uzunluğu görülüyor. Fakat asla bu oran kesin olarak bilinemez. Çünkü doğada indeterminizm, yani belirsizlik vardır.
Üstte görülen doğa sabitlerinin her bir karmaşa içeren irrasyonel sayılardır. C ışık hızı, e sayısı ve h Planck sabiti birer doğa sabiti olarak kabul edilirler.
Bu noktada M.Ö. 540-480 yılları arasında yaşamış olan Efesli Heraklitos’un sözünü hatırlayalım. Heraklitos : “Bir şeyden bütün şeyler ve birçok şeyin kökeninde duran tek şey” derken doğada görülen karmaşanın altında bir teklik bulunur ki bu her var olanın kaynağı olan yaratıcı cevherdir. Muhiddin İbnül Arabi’nin “Vahdet-i-Vücud” felsefesini hatırlatmak isterim. Esasında tek bir yaratıcı vardır ve tüm yaratıklar O’nun bir görüntüsünden başka bir şey değildir.
